12.4.2. Неявные методы Адамса
В рассмотренных k-шаговых явных методах Адамса (Адамса-Башфорта) используются уже известные значения функции f(x,y(x)) в текущем и предыдущих узлах - {хi, хi-1, ,..., хi-k+1}. Однако при построении формулы интерполяционного полинома могут быть использованы и узлы {xi+1, xi+2,... } с еще неизвестными значениями f(x,y(x)). В простейшем случае построение интерполяционного полинома pk-1(x) степени k производится по узловым точкам xi+1 , xi , … , xi-k (pk-1(xj)=fj, j= i+1,i,...,i-N). Данную группу методов называют неявными методами Адамса или методами Адамса-Моултона. Они дают большую точность по сравнению с явными методами.
Общий алгоритм построения расчетной схемы k-шагового метода Адамса- Моултона на равномерных сетках аналогичен алгоритму для k-шагового явного метода Адамса с той разницей, что интерполирующий многочлен pk-1(x) строится по узлам (хi+1, fi+1), (хi, fi),...,(хi-k, fi-k).
k=2. p1(x) - линейная функция, проходящая через два узла (xi = x0 + ih, fi ) и (xi+1 = x0 + (i+1)h, fi+1). Введя переменную t = x - xi, которая изменяется на отрезке [xi, xi+1] от 0 до h, получим:
p1(t) = fi + t ( fi+1 - fi )/h .
Интегрируя p1(t) по t от 0 до h, в (12.14) получим для интеграла формулу трапеции:
Расчетная схема двухшагового неявного метода Адамса (k=2) следующая:
yi+1 = yi + h(fi+1+ fi )/2. (12.18)
k=3. p2(x) - квадратичная парабола, проходящая через три узла (xi-1 = x0+(i-1)h,fi-1), (xi = x0 + ih, fi ) и (xi+1 = x0 + (i+1)h, fi+1). В форме интерполяционного полинома Ньютона данная парабола имеет вид:
p2(t) = fi-1+ (1/h)(fi - fi-1)(x-xi-1) + 0,5 (1/h2)(fi+1 - 2fi + fi-1)(x-xi)(x-xi-1).
С учетом (x-xi) = (x-xi-1-h) интерполяционный полином принимает вид:
p2(t) = fi-1+ 0,5(1/h)(- fi+1 + 4fi - 3fi-1)(x-xi-1) + 0,5 (1/h2)(fi+1 -2fi + fi-1) (x-xi-1) 2.
Введя переменную t = x - xi-1, которая изменяется на отрезке [xi, xi+1] от h до 2h, и интегрируя p2(t) по t от h до 2h, в формуле (12.14) получим:
Расчетная схема трехшагового неявного метода Адамса (k=3) следующая:
yi+1 =yi + h(fi+1+ 6fi - 3 fi-1 )/4. (12.19)
Выполняя аналогичный вывод при k=4, получим расчетную схему четырехшагового неявного метода Адамса:
yi+1 =yi + h(9fi+1+19fi - 5fi-1 - fi-2)/24. (12.20)
В формулах (12.18) - (12.20) значение fi+1 = f(xk+1, yk+1), равное (yi+1-yi)/h, неизвестно. Схемы являются неявными, поскольку неизвестная величина yi+1 входит и в левые и в правые части их уравнений. Поэтому для их решения относительно yi+1 и узлового значения производной fi+1 (которое требуется в дальнейших расчетах) необходимо использовать дополнительные методы. Сущность данных методов обычно заключается в уточнении некоторого грубого начального приближения значений yi+1 и fi+1. При правильном уточнении в неявных методах Адамса можно получить более высокую точность по сравнению с соответствующими явными, однако данное дополнительное уточнение существенно усложняет их реализацию. Методы, применяемые при полном расчете значений yi+1 и fi+1 с использованием неявных схем Адамса, относятся к группе более общих математических методов прогноза и коррекции.
В методах Адамса для расчета очередных величин yi+1 и fi+1 применяются только ранее найденные узловые значения производной fj и последнее значение искомой функции yi.
Общим недостатком многошаговых методов (k >2) является невозможность их старта из единственной начальной точки (x0,у0), так как для начала вычислений по k-шаговой формуле необходимо знать узловые величины производной fj в k предыдущих узлах. Поэтому помимо заданного в задаче Коши начального значения у(x0)=у0 приходится определять (k-1) решение в начальных узлах x1, x2, …, xk-1 с помощью какого-либо одношагового метода, например метода Рунге-Кутта 4–го порядка. Другой проблемой является сложность изменения шага в процессе решения, что легко реализуется в одношаговых методах. При числах шагов k > 2 методы могут расходиться.
При увеличении числа шагов k у интерполирующих многочленов pk-1(x) начинает проявляться еще один недостаток - повышенная осцилляция, что также ограничивает рациональные величины k в методах Адамса.
Вопросы для проверки знаний.
1. В чем заключается различие одношаговых методов решения ОДУ первого порядка от k-шаговых (многошаговых) ?
2. Какова основная идея явных методов Адамса (методов Адамса-Башфорта) ?
3. Какие шаги содержит общий алгоритм построения расчетной схемы k-шагового метода Адамса-Башфорта на равномерных сетках ?
4. Каковы общие преимущества и недостатки явных методов Адамса ?
5. Какова основная идея неявных методов Адамса (методов Адамса-Моултона) ?
6. В чем заключается основное отличие общего алгоритма построения расчетной схемы k-шагового метода Адамса-Моултона на равномерных сетках от аналогичного алгоритма для явного метода Адамса ?
7. Почему расчетные схемы методов Адамса-Моултона являются неявными и каков обычный подход к их практической реализации?
8. Почему многошаговые методы не могут стартовать, подобно одношаговым, из единственной начальной точки (x0,у0) ?