12.4. Одношаговые и многошаговые методы интегрирования оду первого порядка. Методы Адамса
Методы Эйлера, Хойна, Рунге-Кутты интегрирования ОДУ первого порядка используют при нахождении решения в следующем узле хi+1 найденные значения функции y(x) и ее производной f(x,y(x)) только в одном предшествующем узле (yi и fi), поэтому их называют одношаговыми методами. Точность вычислений при интегрировании можно увеличить, если использовать информацию о значениях функции и ее производной, полученных не в одном, а в нескольких (k>1) предыдущих узлах сетки интегрирования. Такие методы интегрирования ОДУ называют k-шаговыми или многошаговыми.
12.4.1.Явные методы Адамса
Рассмотрим интегрирование ОДУ первого порядка на равномерной сетке. Заменяя в выражении (12.6) подынтегральную функцию f(x,y(x)) полиномом pN(x) степени N, аппроксимирующим ее, получим расчетную схему вида:
(12.14)
Если принять на каждом частном отрезке [хi, хi+1] в качестве аппроксимирующего простейшим полиномом степени N=0: р0(х) = f(xi,yi) =const, то получим обычный одношаговый явный метод Эйлера.
Если рассмотреть k>1 и в качестве аппроксимирующего для функции f(x,y(x)) на частном отрезке [хi, хi+1] принять полином pk-1(x) наименьшей степени N=k-1, точно проходящий через ранее найденные узловые значения (хi, fi), (хi-1, fi-1),...,(хi-k+1, fi-k+1) (интерполирующий их), то данную группу методов называют явными методами Адамса или методами Адамса-Башфорта.
По данному определению метод Эйлера является одношаговым (k=1) вариантом явного метода Адамса.
В расчетной схеме методов Адамса-Башфорта используются уже известные значения х и функции f(x,y(x)) в точке xi и в предыдущих точках - {(хi, fi), (хi-1, fi-1),...,(хi-k+1, fi-k+1)}. Поэтому в данных методах помимо вычисления интерполяционного многочлена pk-1(x) и его интегрирования на отрезке [хi, хi+1] не требуется выполнять никаких расчетных действий.
Общий алгоритм построения расчетной схемы k-шагового метода Адамса-Башфорта на равномерных сетках включает: а) построение интерполирующего многочлена pk-1(х), точно проходящего через узлы (хi, fi), (хi-1, fi-1),...,(хi-k+1, fi-k+1) (допустим в форме интерполяционного многочлена Ньютона), б) интегрирование полученного многочлена pk-1(х) на отрезке [xi, xi+1], в) подстановку полученного выражения в общую схему (12.4).
Рассмотрим построение расчетных схем методов Адамса-Башфорта с числом шагов k>1 на равномерных сетках с шагом h, у которых xi = x0 + ih.
k = 2. p1(x) - линейная функция, проходящая через два узла (xi -1 = x0 + (i -1)h, fi -1) и (xi = x0 + ih, fi ). Введя для простоты переменную t = x - xi -1, которая изменяется на отрезке [xi -1, xi] от 0 до h, а на отрезке [xi, xi+1] от h до 2h, получим:
p1(t) = fi -1 + t ( fi - fi -1)/h .
Интегрируя этот полином по t от h до 2h, в (12.14) получим:
Расчетная схема двухшагового метода (k=2) следующая:
yi+1 =yi + h(3 fi - fi-1 )/2. (12.15)
k = 3. p2(x) - квадратичная парабола, проходящая через три узла (xi -2 = x0 + (i -2)h, fi -2), (xi -1 = x0 + (i -1)h, fi -1) и (xi = x0 + ih, fi ). Выполняя аналогичные действия, получим расчетную схему трехшагового метода (k=3):
yi+1 =yi + h(23 fi -16 fi-1 +5fi -2 )/12. (12.16)
k = 4. p3(x) - кубическая парабола, проходящая через четыре узла (xi-3, fi-3) - (xi, fi). Расчетная схема четырехшагового метода (k=3):
yi+1 =yi + h(55fi - 59fi-1 +37fi -2 - 9fi-3)/24. (12.17)
Главным преимуществом явных методов Адамса является получение по расчетной схеме готового очередного приближения yi+1 искомой функции y(x). Однако у неявных методов может быть получена более высокая точность за счет дополнительного уточнения значений, получаемых предварительно по расчетной схеме явного метода Адамса.