ms_lec

-забезпечує подання системи та її звужень, які є відношеннями, за допомогою функцій;

-забезпечує визначення майбутнього виходу системи, знаючи лише майбутній її вхід і біжучий стан в момент цього входу.

-забезпечує зіставлення станів системи в різні моменти часу, щоб визначити наявність зміни в системі і характеру цієї зміни. Ця вимога приводить до поняття простору станів, і загальна система визначається в такому просторі.

Причинність змін станів системи в часі зв’язується з такими поняттями:

-система називається передбачуваною, якщо існує така сім’я об’єктів станів, що майбутнє значення будь-яких вихідних величин системи визначаються виключно станом системи в попередній момент часу і вхідними діями на розглянутому відрізку часу.

-система називається обумовленою (наперед визначеною), якщо після деякого початкового періоду часу значення будь-якої вихідної величини визначаються виключно минулими значеннями “вхід-вихід”.

9.2.Основні поняття теорії загальних систем.

При побудові теорії систем опираються на такі означення:

Означення 1. Загальною системою називається відношення на непорожніх абстрактних множинах.

Елементами цього відношення є пари x, y . Таку систему називають системою “вхід - вихід”, а в кібернетиці – чорною скринькою.

то систему називають функціональною.

Для функціональних систем (4) вказують дві області:

- область визначення

D S x : y x, y S

і

- область значень

R S y : x x, y S .

71

Означення 4. Нехай для кожної загальної системи S існує довільна множина C і деяка функція R : C X Y така, що x, y S c R c, x y . Тоді C називається множиною або об’єктом глобальних станів системи, а її елементи – загальними станами системи. Функцію R називають глобальною реакцією (реалізацією) системи S .

Теорема 1. Кожній системі відповідає деяка глобальна реакція, і ця функція R не є частковою, тобто R : C X Y .

Теорема справедлива лише в тому випадку, коли на C і/або R не накладається жодна додаткова умова. Якщо R має якісь певні властивості і може бути визначеною, але не на всьому добутку C X , то R є частковою функцією.

9.3. Абстрактні лінійні системи.

Означення 5. Нехай A – деяке поле1, X , Y – лінійні алгебри2 над A , S – відношення, причому S X Y , S 0 . Нехай крім того:

1.s S & s S s s S ,

2.s S & A s S ,

Азнак « » означає внутрішню операцію додавання в добутку X Y , s – результат зовнішньої операції множення « » на скаляр. Тоді S називається абстрактною повною лінійною системою.

Неповною є лінійна система, наприклад, яка описується системою лінійних дифрівнянь з множиною допустимих початкових умов, які не утворюють лінійного простору. Проте неповні лінійні системи завжди можна природнім чином доповнити.

Теорема 2. Нехай X , Y – лінійні алгебри над одним і тим же полем A . Система S X Y

єлінійною тоді і тільки тоді, коли існує глобальна реакція R : C X Y , що:

1.C є лінійна алгебра над A .

2.Існує пара таких лінійних відображень R1 : C Y i R2 : C Y , що для всіх пар c, x C X :

R c, x R1 c R2 x .

Це фундаментальна теорема, і на ній базуються всі результати стосовно лінійних систем, які розглядаються в даному підході.

Означення 6. Нехай S X Y є лінійною системою, а R – відображення:

R : C X Y . Відображення R називається лінійною глобальною реакцією системи тоді і тільки тоді, коли:

1. R узгоджується з S , тобто: x, y S c y R c, x .

2.C є лінійна алгебра над полем A скалярів лінійних алгебр X , Y .

3.Існує пара таких лінійних відображень R1 : C Y i R2 : C Y , що для всіх

c, x C X : R c, x R1 c R2 x .

1 Поле в загальній алгебрі – множина з двома бінарними операціями « » (додавання) і « » (множення), якщо вона утворює комутативну групу за додаванням a b b a і усі його ненульові елементи утворюють комутативну групу за множенням a 0, b 0 : a b b a , та виконується властивість дистрибутивності.

2 Лінійна алгебра – розділ алгебри, який вивчає об’єкти лінійної природи: векторні (або лінійні) простори, лінійні відображення, системи лінійних рівнянь, а основними інструментами є визначники та матриці.

72

Тут C називається лінійним об’єктом глобальних станів. Відображення R1 називається глобальною реакцією на стани. Відображення R2 називається глобальною реакцією на вхід.

Різниця між глобальною реакцією системи і лінійною глобальною реакцією в тому, що перше поняття вимагає лише виконання першої умови, а для другого необхідно виконання умов 2 і 3.

9.4. Загальні часові системи.

Поняття загальної часової системи вимагає формалізації поняття часу. Для цього використовують таку мінімальну математичну структуру, яка відбиває найбільш суттєві риси наших інтуїтивних представлень про час.

Означення 7. Множиною моментів часу називають лінійно впорядковану множину, яку позначають символом Т, а визначене на цій множині відношення порядку .

Мінімальною властивістю, притаманною множині моментів часу, тут вважають те, що її елементи слідують один за одним в певному порядку, а на потужність множини не накладаються будь-які обмеження.

Приймемо, що на множині T визначений мінімальний елемент 0 , тобто ми допускаємо існування деякої надмножини T лінійно впорядкованої відношенням , яка місить фіксований елемент 0 такий, що T можна визначити як:

T t : t 0 .

Означення 8. Нехай A і B – деякі довільні множини. T – деяка множина моментів часу.

AT , BT – множини будь-яких відображень із T в A і B відповідно X AT і Y BT . Загальною часовою системою S над X і Y називають відношення на X і Y , тобто S X Y , а множини A і B називають алфавітами вхідних впливів (дій) і вихідних величин реакцій системи відповідно. Множини X і Y називають часовими об’єктами системи, а їх елементами x :T A , y : T B є абстрактні функції часу.

Значення функцій із X і Y в момент часу t будуть відповідно позначатися через x t та y t . Для визначення динаміки поведінки часових систем необхідно ввести в розгляд відповідні

73

9.5. Початкові стани і початкові реакції системи.

74

Для кожної часової системи існує сім’я реакцій.

існування часової системи S X Y , яка узгоджується з , необхідно і достатньо, щоб для всіх t T виконувались наступні умови:

Умова 1. c0 x xt t ct , xt 0 c0, xt xt |Tt Умова 2. ct xt c0 xt t ct , xt 0 c0, xt xt |Tt

9.6. Загальні динамічні системи.

Необхідність поняття динамічної системи виникає при дослідженні розвитку систем в часі. Для встановлення взаємозв”язку між значеннями об’єктів системи, які відносяться до різних моментів часу, одного поняття реакції системи є недостатньо, тому вводять сім’ю функцій.

Означення 13. Часова система S X Y називається динамічною тоді і тільки тоді, коли існує дві такі сім’ї відображень :

t : Ct Xt Yt & t T

фактично динамічним поданням системи S, тобто , є просто динамічною системою. Якщо

для сім’ї реакцій існує сімейство переходів станів, яке узгоджується з ним, то це сімейство є сімейством реакцій динамічної системи. Проте не кожна сім’я реакцій може бути сім’єю реакцій динамічної системи.

Умова 1 і Означення 13 відповідають властивості узгодженості сім’ї функцій переходу станів(з заданою сім’єю реакцій), а Умова 2 – властивості композиції переходів станів.

75

( t) (t’ t) (t, t’ T St’ Ft’ – t (St))

Якщо система цілком стаціонарна, то F – t (St’ Tt) = F – t’ (St’) для t t’ T, тобто починаючи із будь-якого заданого моменту часу еволюція системи в майбутньому виявляється однаковою з точністю до зсуву на відповідний проміжок часу.

79

МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

ЛЕКЦІЯ 10

ОПИС СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

На основі теорії диференціальних рівнянь показано опис динамічних систем. Виділено основні властивості диференціальних рівнянь саме важливих для моделювання динамічних систем та їх особливості в сенсі побудови моделей. На прикладах моделювання систем в біології, екології, фізики, економіки, розглянуто моделювання систем диференціальними рівняннями. Приведені задачі та їх розвʼязки.

10.1. Поняття і cуть диференціального рівняння

Диференціальне рівняння є одним з основних математичних понять. Можна тверджувати напевно, що не знайдеться жодної людини, яка б не була знайомою з ними. Диференціальні рівняння – це рівняння для відшукання функцій, похідні яких (або диференціали) задовольняють деяким наперед заданим умовам. Диференціальні рівняння, отримані в результаті досліджень деякого реального явища або процесу, називають диференціальною моделлю цього явища або процесу. Зрозуміло, що диференціальні моделі – це окремий випадок тієї множини математичних моделей, які можуть бути побудовані при вивченні навколишнього світу. При цьому необхідно відзначити, що існують і різні типи самих диференціальних моделей. Найбільш широке застосування мають моделі, які описуються так званими звичайними диференціальними рівняннями. Однією з характерних особливостей таких рівнянь є те, що невідомі функції в цих рівняннях залежать тільки від однієї змінної.

У процесі побудови звичайних диференціальних моделей важливе, а часом і головне значення має знання законів в тій галузі науки, з якою зв’язана природа досліджуваної задачі. Так, наприклад, в механіці це можуть бути закони Ньютона, в теорії електричних кіл – закони Кірхгофа, в теорії швидкостей хімічних реакцій – закон дії мас і т.д.

Звичайно, на практиці доводиться мати справу і з такими випадками, коли відомі закони, що дозволяють скласти диференціальне рівняння, і тому при складанні рівняння необхідно вдаватися до різних припущень та висувати гіпотези, що стосуються протікання процесу при малих змінах параметрів. До диференціального рівняння тоді призводить граничний перехід. При цьому, якщо виявиться, що результати дослідження отриманого рівняння як математичної моделі узгоджуються з дослідними даними, то це і буде означати, що висловлена гіпотеза правильно відображає дійсний стан речей.

Рівняння, які містять незалежну змінну, функцію та її похідні різних порядків, називаються диференціальними рівняннями. Порядок диференціального рівняння визначається порядком вищої

Процес розв’язування диференціального рівняння називається його інтегруванням. Загальним розв'язком диференціального рівняння (1) є функція

80