ms_lec

Рис. 6. Діаграми розподілу квазіциклів за кількістю вузлів.

Розмір області покриття або її площа свідчать про різницю між значеннями рівнів – вузлів, що входять в даний квазіцикл та різницю між швидкостями зміни їхніх значень. Для визначення границь областей покриття вузли квазіциклу краще з’єднувати не згладженими кривими а прямими лініями. Чим ці різниці більші, тим більшою є площа області покриття. На це вказує і

діагоналей, вказують на зміщення центру даного квазіциклу від аналогічного за визначенням центру фазового портрета, тобто, для фазового портрету також можна вказати область покриття і так само визначити її центр. Області покриття та центри квазіциклів зображені на рис. 15.11.

Рис. 15.11. Області покриття та визначення центрів квазіциклів.

Для ідентифікації фазових портретів використовується також орієнтація області покриття, яку визначають як тангенс кута нахилу головної діагоналі прямокутника з додатнім напрямом осі

горизонтально, а при tg 1 – вертикально. Горизонтальне видовження свідчить про величину

розмаху значень оригінального ряду, вертикальне – про розмах значення швидкості зміни оригінальних значень.

Важливою характеристикою часового ряду є динаміка центрів квазіциклів. На рис. 15.12 спостерігається девіація квазіциклів, на що також вказують і координати центрів області покриття. Зміщення центрів цих областей свідчить про те, що операторська діяльність має складний динамічний характер. Процеси в системі оператор-монітор з однієї сторони визначаються характером наданої на моніторі послідовності зображень, а з другої – когнітивними процесами поєднаними роботою зорового аналізатора. Девіація центрів зображена на рис. 15.12.

141

Присутність квазіциклів, які в той чи інший спосіб вказують на існування осциляцій, девіація самих центрів квазіциклів та величин областей покриття, потребують більш глибокого дослідження їх фізичної суті. Не менш важливим є дослідження зв’язку між вхідними зображеннями та часом їхнього опрацювання з точки зору когнітивних, психофізіологічних та психофізичних характеристик людини-оператора.

Отримані в результаті застосування даних методів показники допомагають подати структуру операторської діяльності більш точно та об’єктивно, оскільки всі висновки та виявлення квазіциклів здійснюються за конкретними числовими даними. Ефективність застосування фазового аналізу полягає в тому, що на підставі отриманих параметрів та характеристик більш докладно подається, власне, структура операторської діяльності, що має вельми важливе значення для ідентифікації операторського персоналу.

Основною вимогою щодо візуалізації фазового аналізу є обов’язкове дотримання масштабів зображень квазіциклів.

Розподіл центрів квазіциклів вздовж ряду Оп-2

502

402

302

202

102

2

Номери рівнів ряду

Рис. 15.12. Центри квазіциклів відповідно до їхнього положення в часовому ряді Оп-2.

Дотримання масштабів означає, що віс абсцис, тобто вісь моментів фіксації рівнів оригінального часового ряду повинна бути і віссю значень границь квазіциклів, і віссю центрів квазіциклів, оскільки останні можна вважати станами системи.

Таким чином, використання фазового підходу і, зокрема, виявлення та дослідження квазіциклів часового ряду дає підстави врахувати особливості динамічної структури операторської діяльності для задач: професійного відбору, ідентифікації операторського персоналу та атестації.

Запропонований метод виділення квазіциклів є об’єктивний і достатньо точний, особливо за умови застосування тренду оригінального ряду для зіставлення оригінального ряду та ряду його чисельно диференційованих значень.

Прив’язка центрів областей покриття квазіциклів до рівнів оригінального ряду, що відповідають цим центрам дає підстави судити про характер динаміки досліджуваного показника.

В результаті проведеного фазового аналізу індивідуальних часових рядів в задачах ідентифікації операторського персоналу крім показників описової статистики ще включаються такі показники: параметри фазового портрету часового ряду – область покриття і її центр, кількість квазіциклів та їхні параметри – кількість вузлів, півпериметр, орієнтацію та координати центру області покриття. Крім того, діаграми розподілу рядів за кількістю вузлів у квазіциклах та розподіл центрів вздовж часового ряду мають суто індивідуальний характер, а тому є суттєвим доповненням для аналізу структури часового ряду

Використання методів нелінійної динаміки і, зокрема, методів аналізу фазових портретів, значно розширює множину ідентифікаційних характеристик операторської діяльності, а головне дає можливість, принаймні, розглядати динаміку показника як зміну фазового стану системи, іншими словами функціонального стану центральної нервової системи, протягом усього спостереження.

142

МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ

ЛЕКЦІЯ 16

РЕКУРЕНТНИЙ АНАЛІЗ ЧАСОВИХ РЯДІВ

Розкрито поняття рекурентності стосовно часового ряду та рекурентної діаграми. Дано метод побудови рекурентної діаграми. Розглянуто застосування рекурентного аналізу та рекурентних діаграм. Приведені різні типи рекурентних діаграм, у відповідності з характером часових рядів, та надано формули для кількісної оцінки їх властивостей.

В різноманітних сферах людської діяльності зустрічаються системи, які характеризуються своєю поведінкою з точки зору її складності, динамічності, особливості існуючих в цій системі процесів. Такі системи опосередковано чи безпосередньо впливають на діяльність людей, оточуюче середовище, а тому необхідно і важливо вивчати, досліджувати і моделювати їх динаміку та передбачати їх поведінку з плином часу. Складні динамічні системи переважно характеризуються нерегулярною динамікою поведінки, проявами якої є, як випадкові, так і детерміновані хаотичні процеси. Спостереження за такими системами та їх експериментальні дослідження подаються часовими рядами – дискретною послідовністю випадкових величин, що є значеннями відповідних показників, впорядкованими за часом їх отримання, які характеризують стан об’єкта спостереження в окремі моменти часу. Іншими словами, сукупність таких вимірів (показників) на протязі певного періоду часу являють собою часовий ряд. Основною метою аналізу часових рядів отримання інформації про властивості і механізм системи, яка генерує даний ряд. Саме вони є основою моделювання таких систем. Часові ряди є дискретними послідовностями чисел, які розподілені регулярно або випадково в часовому інтервалі спостереження за системою. Кожному числу відповідає момент його спостереження, тобто ці числа є впорядковані відносно біжучого часу функціонування системи. Такий спосіб представлення інформації про явища, еволюційні процеси, рухи та динаміку досліджуваної системи є дуже поширеним і зручним. В деяких випадках, дискретні спостереження або вимірювання є цілком природними або, й навіть, єдиним можливим способом збору інформації про систему, а в інших – дискретність використовується для даних в задачах попереднього моделювання, прогнозування та отримання наближених оцінок функціональної придатності системи або пов’язана з вибором способу спостереження. Дослідження складних систем як природних так і штучних, показали, що в їхній основі лежать нелінійні процеси, докладне вивчення яких є необхідне не лише для розуміння таких систем, але і для їх моделювання.

Застосування статистичних методів для роботи з часовими рядами певною мірою забезпечує адекватність побудованої моделі досліджуваному явищу, процесу чи об’єкту, проте подати динаміку їх розвитку ними є досить проблематично. Статистичні методи дозволяють успішно розв’язувати задачі визначення форми і тісноти зв’язку між факторами і результативними показниками, дають кількісні оцінки та якісні характеристики об’єктів.

За останні десятиліття арсенал традиційних лінійних – статистичних методів обробки та аналізу експериментальних даних суттєво поповнився методами нелінійної динаміки. Принципи роботи з такими методами, подані літературними джерелами вказують на те, що більшість методів нелінійної динаміки потребують досить довгих і стаціонарних часових рядів, які досить складно

143

отримати від природи. Більш того, виявилось, що ці методи дають задовільні результати в основному для ідеалізованих моделей реальних систем.

В той же час, рекурентний аналіз, який є ще досить новим і перспективним у своєму динамічному розвитку, не вимагає довгих і стаціонарних часових рядів. Рекурентні діаграми дають представлення про характер існуючих в системах процесів, присутності і впливі шуму, дрейфу, наявності станів повторення і завмирання (ламінарність), звершення екстремальних подій, існування прихованої періодичності та циклічності.

Слово рекурентний (лат., той, що повертається) той, що дає змогу відшукати значення якоїсь величини за знайденими раніше іншими значеннями тієї самої величини.

Для проведення рекурентного аналізу при дослідженні динамічних систем не потрібно наявності великого обсягу первинних даних, достатньо часового ряду даних одного вимірювального експерименту. Рекурентні діаграми, отримані в процесі аналізу часових рядів, мають у своїй основі геометричну структуру. Основна діагональ на рекурентній діаграмі має вигляд чорної діагональною лінії – лінії ідентичності. Окремі точки на діаграмі не несуть ніякої інформації, однак, в сукупності дозволяють реконструювати властивості досліджуваного процесу.

В дослідженні процесів з використанням рекурентних діаграм розглядають два типи структур: топологію і текстуру. При цьому топологія, яка відповідає великомасштабним структурам дає загальне уявлення про характер процесу і відносить його в такі класи: однорідні, періодичні, дрейф і білі області. Текстура характеризує дрібномасштабну структурою діаграми і складається з окремих точок та діагональних, горизонтальних і вертикальних ліній.

16.1. Застосування рекурентного аналізу

За останні десятиліття, інформаційна технологія математичного опису усього різноманіття природних явищ, яка базувалась на лінійній парадигмі, тобто на мові класичних (лінійних) моделей математичної статистики, поповнила свій арсенал новими методами запозиченими з нелінійної динаміки. Це методи фрактального аналізу, методи аналізу фазових портретів, кількісний рекурентний аналіз, метод рекурентних діаграм та інші.

В реальності наукових досліджень, отримати довгі часові ряди є досить складно, оскільки, з однієї сторони, для прийняття рішень, досить часто потрібна висока оперативність, а це автоматично скорочує час дослідження і відбору даних. З другої сторони, досліджуваний об’єкт може за короткий час суттєво змінити свій стан і отримані результати не можуть бути об’єднані в одну стаціонарну послідовність.

Тому, за таких ситуацій, виникає потреба розробки нового інструментарію та відповідної методології, основаної на фундаментальних властивостях дисипативних динамічних систем, які б не пред’являли особливих вимог до даних і забезпечили б задовільні результати. Одним з таких інструментів, який відносять до методів нелінійної динаміки є метод рекурентних діаграм. Цей метод є застосовний до коротких і нестаціонарних рядів, що є його суттєвою перевагою перед іншими методами нелінійного аналізу.

Проблема рекурентних діаграм полягає в тому, що на даний час немає строго визначеної методології їх побудови, а також не достатньо чітко визначено сферу застосування рекурентних діаграм, умови за яких вони дають найбільш ефективні і добре інтерпретовані результати. Існуюче програмне забезпечення є досить складним в освоєнні, а спеціально розроблені для аналізу часових рядів пакети прикладних програм не розраховані на рекурентний аналіз та побудову рекурентних діаграм.

Тим не менш, застосування методу рекурентних діаграм має важливе значення в тому, що на відміну звичайного подання часового ряду графіком в декартовій системі координат як характерних особливостей послідовності значень рівнів та їхньої тенденції, рекурентні діаграми дають інформацію про іншу його характеристику – поведінку у фазовому просторі.

На даний момент для вивчення властивостей складних систем, у тому числі й при експериментальних дослідженнях, широко використовується підхід, заснований на аналізі сигналів системи. Це актуально у випадках, коли математично описати досліджуваний процес

144

практично неможливо, але є характерна спостережувана величина. Тому аналіз систем здійснюють засобами обробки сигналів. Зазвичай такий сигнал називають спостережуваним і він являє собою часовий ряд, а метод дослідження – реконструкцією динамічних систем.

Рекурентна поведінка, така, як періодичність або іррегулярна циклічність властива як для природних систем, так і для складних систем, створених людиною. Рекурентні діаграми, запропоновані в 1987 році Екманом, Кампхорстом і Рюелем дозволяють відобразити фазову траєкторію будь-якої розмірності на двовимірну двійкову квадратну матрицю, розмір якої визначається довжиною часового ряду і, фактично відбиває його рекурентність як «погляд в минуле», тобто його поведінку в минулі моменти часу. Окрім потужних візуальних властивостей, існує метод кількісного аналізу структур, які формуються на зображенні рекурентної діаграми. Сучасні дослідження показали, що рекурентна діаграма містить всю необхідну інформацію про динаміку системи.

На даний час методи аналізу характеру процесів, а саме: рекурентний аналіз та реконструкції фазового простору за одномірним часовим рядом є найбільш вживані в економіці, фінансах, медицині, в математичному моделюванні динамічних систем. Можливими застосуваннями методу рекурентних діаграм є інформаційні моделі складних динамічних систем. Перспективність цього методу аналізу процесів, саме в теоретичних дослідженнях обґрунтовується побудовою рекурентних діаграм системи Лоренца, розробкою принципів їх побудови, класифікацією визначених параметрів та здійсненням кількісного аналізу за допомогою обчислення мір складності геометричних структур рекурентних діаграм. Для аналізу фінансових часових рядів, з метою побудови інструменту моніторингу ринків, розроблено відповідну теорію та методи рекурентного аналізу, визначені оптимальні значення вхідних параметрів та відповідні міри. В телекомунікаційних системах широко використовується метод нелінійного аналізу процесів з використанням рекурентних діаграм. Для цього застосовуються методи реконструкції фазового портрету досліджуваного процесу на основі часового ряду та побудови рекурентних діаграм, а також проводиться кількісний аналіз структур рекурентних діаграм. Для рекурентних діаграм виявлено зв’язок з фрактальним показником самоподібності Герста. Існує спосіб кількісної оцінки фазової траєкторії досліджуваного процесу за допомогою рекурентних діаграм та її кількісного аналізу. Використання рекурентного аналізу для моделювання і прогнозування нелінійних динамічних властивостей складних систем підтверджується багатьма публікаціями. На сьогодні розроблено поняття реконструкції фазового простору, рекурентного аналізу, рекурентних діаграм та їхніх характеристик, зокрема таких як однорідність топології, дрейф, осцилююча поведінка системи, контрастна топологія, осцилююча поведінка системи, контрастна топологія, ламінарність процесу. Крім того, розроблені методи візуального та кількісного аналізу рекурентних діаграм.

Також варта відмітити, що сам по собі рекурентний аналіз, являє собою багате поле для досліджень, як самого методу, так і аспектів його застосування.

16.2. Рекурентність та рекурентні діаграми

Поняття «рекурентності» відоме досить давно і розглядалось та обговорювалось в наукових публікаціях ще з ХІХ століття, коли одним з основних об’єктів дослідження був рух планет, який описували рівняннями небесної механіки. Багатьом процесам в природі властива яскраво виражена рекурентна поведінка, така, як періодичність або іррегулярна циклічність. Більш того, рекурентність (повторюваність) станів в значенні проходження подальшої траєкторії достатньо близько до попередньої є фундаментальною властивістю дисипативних динамічних систем. Ця властивість була відмічена ще в 1880-х роках французьким математиком Пуанкаре і згодом сформульована у вигляді «теореми рекурентності», опублікованої в 1890 р. Суть цієї теореми полягає в тому, що якщо система зводить свою динаміку до обмеженої множини фазового простору, то система майже напевно, тобто з вірогідністю, практично рівною одиниці, скільки завгодно близько повертається до певного наперед заданого режиму.

145

Порогова відстань i може вибиратися безпосередньо для кожної точки окремо, виходячи з отримання в її околі, деякої наперед визначеної кількості точок, рекурентних даній. В цьому випадку отримують несиметричну діаграму, тобто Ri, j Rj,i . Найбільш поширений варіант –

порогова відстань i весь час залишається постійною, що дає симетричну діаграму Ri, j Rj,i .

Тип норми також впливає на вигляд діаграми. Як правило, в якості норми використовують норми L1 , L2 (евклідова норма), L (максимальна норма). Межі цих норм мають різні фігури і

стосовно до підходу з постійним це означає, що норма L забезпечує знаходження найбільшої, L2 – середньої, а L1 – мінімальної кількості сусідніх точок.

а) однорідна топологія

б) дрейф сигналу

в) осцилююча поведінка

г) контрастна топологія

147

При побудові рекурентних діаграм переважно використовується норма L , оскільки, поперше, вона не залежна від розмірності фазового простору, по-друге, найпростіше обчислюється і, по-третє, дозволяє вивчати діаграми теоретично, оскільки аналітичні вирази для L розв’язуються

простіше, ніж для будь-якої іншої норми. Незалежність від розмірності знаходить застосування в задачах аналізу реконструйованих часових рядів з різними розмірностями вкладення, тобто рекурентні діаграми різних вкладень можуть порівнюватись напряму, тоді як для решти норм потрібне масштабування. Геометрія вигляду основних норм зображена на рис. 16.3. В якості норми для побудови рекурентних діаграм

Рис.16. 3. Основні норми з однаковим радіусом навколо точки фазового простору (чорна точка в центрі фігури), зображені для двовимірного фазового простору:

а) L1 ; б) L2 ; в) L .

16.3. Аналіз рекурентних діаграм

Процеси різної поведінки дають різні рекурентні діаграми. Візуальна оцінка таких діаграм може дати уявлення про еволюцію досліджуваної траєкторії. Виділяють два основних класи структури зображення рекурентної діаграми: топологію, представлену крупномасштабними структурами, і текстуру, яка формується дрібномасштабними структурами.

Топологія дає загальне уявлення про характер процесу. Виділяють чотири різних класи діаграм. Такі класи топології рекурентних діаграм зображені на рис. 16.4. до них належать такі.

1.Однорідні рекурентні діаграми, типові для стаціонарних і автономних систем, в яких час релаксації малий у порівнянні з довжиною ряду.

2.Періодичні структури, що повторюються (діагональні лінії, узори у шаховому порядку), відповідають осцилюючим системам.

3.Дрейф відповідає системам з параметрами, що поволі змінюються, що робить білими лівий верхній і правий нижній кути рекурентної діаграми.

4.Різкі зміни в динаміці системи, так само як і екстремальні ситуації, обумовлюють появу білих областей або смуг.

Крім того, рекурентні діаграми спрощують виявлення екстремальних і рідкісних подій. Докладний розгляд рекурентних діаграм дозволяє виявити дрібномасштабні структури –

текстуру, що складається з простих точок, діагональних, горизонтальних і вертикальних ліній. Комбінації вертикальних і горизонтальних ліній формують прямокутні кластери точок.

Самотні, окремо розташовані рекурентні точки з’являються в тому разі, коли відповідні стани рідкісні, або нестійкі в часі, або викликані сильною флуктуацією. При цьому вони не є ознаками випадковості або шуму.

Діагональні лінії Ri k , j k 1, при k 1, , l , де l – довжина діагональної лінії, виникають

у разі, коли сегмент траєкторії у фазовому просторі пролягає паралельно іншому сегменту, тобто траєкторія повторює саму себе, повертаючись в одну і ту ж область фазового простору у різний час. Довжина таких ліній визначається часом, протягом якого сегменти траєкторії залишаються паралельними; напрями (кут нахилу) ліній характеризує внутрішній час підпроцесів, відповідних

осей координат) свідчить про однаковий напрям сегментів траєкторії. Якщо лінії проходять

149

перпендикулярно до лінії ідентичності, то це свідчить про протилежний («відображені» сегменти), що може бути також ознакою реконструкції фазового простору з невідповідною розмірністю вкладення. Нерегулярна поява діагональних ліній є ознакою хаотичного процесу.

Рис. 16. 5. Характерні топології рекурентних діаграм: а) однорідна (нормально розподілений шум); б) періодична (генератор Ван дер Поля); в) дрейф (відображення Ікеди з накладеною послідовністю, що лінійно зростає); г) контрастні області або смуги (узагальнений броунівський рух).

або горизонтальної, виділяють проміжки часу, в котрі стан системи не змінюється або змінюється дуже мало, тобто система якби є «замороженою» на цей час, а це є ознакою «ламінарних» станів.

16.4. Побудова рекурентної діаграми в MS Exсel

Для ілюстрації методу побудови рекурентної діаграми засобами табличного процесора MS

150