38) Алгебраические системы. Множества и операции над ними. Терминология и символика теории множеств.Числовые множества. Множества действительных чисел.Верхняя и нижняя границы множеств.

О. Алгебраическая система или алгебраическая структура — множество G с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом.

О. Множество – это неопределяемое понятие . Можно описать его с помощью примеров. Объекты, из которых состоит множество, наз-ся элементами множества.

Способы задания множества:

• Перечисление элементов

• Указание характерного свойства элементов

Операции над множествами:

• Объединением множеств А и В наз-ся множество, состоящее из элементов , которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

АВ = { x | x A или x В }

• Перечислением множеств А и В называется множество, состоящих из элементов, которые принадлежат как к множеству А, так к множеству В .

АВ = { x | x A или x В }

• Разностью множеств А и В наз-ся множество, состоящее из всех элементов множества А, непринадлежащих множеству В.

А\В = { x | x A или x В }

• Если множество А является подмножеством В, то разность В \ А называют дополнением множества А до множества В.

B \ A = C_B A

O. а) Множество А называется конечным, если содержит конечное число элементов.

б) Множество А называется счетным, если между его элементами и элементами множества N чисел можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Числовые множества:

N = {1,2,3,….100,101,…} –множество натуральных чисел

Z = {0,} –множество целых чисел

Q = {, m } – множество рациональных чисел(дробные)

R – множество действительных чисел

O. а) Пусть А – упорядоченное множество. – называется верхней границей множества а, если для любых элементов этого множества выполныется условие: а ( а – называется нижней границей множества а, если для всех его элементов выполняется условие а а)

б) Наименьшее из всех верхних границ множества А называется верхней гранью. Наибольшее из всех границ множества А, называется нижней гранью.

min = sup A – верхняя грань

max a = inf A – нижняя грань

39) Множества комплексных чисел. Изображение комплексных чисел на плоскости. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

О. Комплексным числом Z называется выражение Z = x + iy, где x, y, z R, i – мнимая единица. i =

x – действительная часть комплексного числа Z. Re Z = x

y – мнимая часть комплексного числа Z. Im Z = y

Если х = 0, Z = iy – чисто мнимое число.

Если y = 0, Z = x – действительное число.

О. Комплексные числа Z₁ = x₁ + iy₁ и Z₂ = x₂ + iy₂ называются равными, если x₁ = x₂

O. Z и называются комплексносопряженными, если отличаются друг от друга, только знаком мнимой части.

Z = x + iy

Z = x – iy

O. Z = 0 тогда и только тогда, когда х = 0 и у = 0.

комплексный ноль.

С – множество комплексных чисел.

Изображение комплексных чисел на плоскости:

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат хОу . Каждому комплексному числу z = a + bi можно сопоставить точку с координатами (a,b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c,d) можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

Z = x + iy

Z = a + ib - алгебраическая форма записи комплексного числа.

Операции над комплексными числами в алгебраической форме записи:

Пусть Z₁ = x₁ + iy₁ и Z₂ = x₂ + iy₂

• Z₁ + Z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

• Z₁ – Z₂ = (x₁ - x₂) + i(y₁ - y₂)

• Z₁*Z₂ = (x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂) = (x₁x₂ – y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

• 

Чтобы разделить Z₁ на Z₂ надо умножить и делимое и делитель на комплексное число, сопряженное с Z₂