34) Поверхности второго порядка: конусы, цилиндры. Свойства.

конусы второго порядка:

— конусы,

— мнимые конусы;

цилиндры второго порядка:

— эллиптические цилиндры,

— мнимые эллиптические цилиндры,

— гиперболические цилиндры,

— параболические цилиндры.

35) Полярная система координат и ее связь с декартовой. Примеры кривых в полярной системе координат.

O. Полярной системой координат на плоскости наз. Совокупность точки О и оси Ох.

О – полюс Ох – полярная ось.

O. Полярными координатами т.М наз числа = |OM| и = (ОМ^Ох), , по час. стрелке, , против час. стрелки.

Связь полярной и декартовой системы координат:

Пару полярных координат r и φ можно перевести в Декартовы координаты x и y путем применения тригонометрических фукнций синуса и косинуса:

в то время как две Декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

(по th Пифагора)

Примеры:

• Спираль Архимеда

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением r(φ) = φ для 0 < θ < 6π

Известная спираль Архимеда названа в честь ее изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметра b - расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для φ>0 а другую для φ<0. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

• Циклоида

Цикло́ида — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

36) Цилиндрическая и сферическая системы координат и их связь с декартовой системой координат.

О. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (, , z), которые определяют положение точки М в пространстве.

x = cos

y = sin

z = z

O. Сферическими координатами наз. числа r, , , где , = (ON^Ox), r – расстояние т М до О = |OM|

x = sin cos

y = sin sin

z = r cos

37) Высказывания и логические операции над ними. Предикаты, кванторы и связь между ними. Булева алгебра и ее приложения.

O. Под высказыванием будем понимаь связанное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывание неопределяемое понятие.

Нас не будет интересовать, о чем идет речь в высказывании, а будет интересовать его значение истинности.

1, если А - истинно

А= 0, если А – ложно

О. Два высказывания называются равносильными, если их значение истинности совпадают. АВ

Операции над высказываниями:

• Отрицанием выск А наз. выск, значение истинности которого противоположно значению истинности выск А.

Обозначение:

А
1	0
0	1

- таблица истинности.

• Дизъюнкция выск А и В назю высказывание, которое ложно только в одном случае, когда оба высказывания А и В ложны.

Обозначение: АvВ

А	А	АvВ
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

• Коньюкцией выск. А и В наз-ся выск., которое истинно только в одном случае, когда оба высказывания истинны.

Обозначение: А /\ В, А и В

А	А	А/\В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

• Импликацией А в В наз-ся высказывание, которое ложно только в одном случае, когда А=1, В=0

Обозначение: АВ

А	А	АВ
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

• Эквиваленцией выск А и В наз-ся высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В имеют одинаковые значения истинности.

Обозначение: А, АВ

А	А	АВ
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Законы Моргана:

О. Предложение, содержащие неизвестные, истинное значение которых зависит от значений переменных, входящих в него, называют предикатом.

По количеству переменных, входящих в предикат различают одноместные, двухместные, n – местные предикаты, нульместные.

Каждый предикат характеризуется тремя множествами:

• Область определения предиката – множество из которых выбирается значение переменных.

• Множество истинности предиката - множество значений переменных, на кот. предикат принимает значение истинности, равное 1

• Множество ложности предиката - множество значений переменных, на кот. предикат принимает значение, равное 0.

О. Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают:

• Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).

• Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

Булева алгебра изучает логические операции над высказываниями, отрицание, дизъюнкцию, коньюнкцию.