VI. Вычисление частных производных
При вычислении
частной производной
аргумент у
считаем постоянной величиной. При
вычислении частной производной
аргумент х
считаем постоянной величиной
Пример 35. Найти частные производные первого порядка функции
.
,
.
Пример 36. Найти
частные производные первого порядка
функции
.
При дифференцировании
по х,
постоянный множитель
можно вынести за знак производной
VII. Исследование на экстремум функции двух аргументов
Чтобы исследовать на экстремум функцию двух переменных z=z(x;y) необходимо найти частные производные первого порядка и точки, в которых эти производные равны нулю или не существуют. Затем находят частные производные второго порядка и вычисляют их значения в найденных точках. Обычно обозначают
.
Если D<0, то экстремума в этой точке нет;
если D>0 и A>0, то в этой точке минимум,
если D>0 и A<0, то в этой точке максимум,
если D=0, то исследование проводят другим способом.
Пример
37. Исследовать
на экстремум функцию
Найдем частные производные первого порядка
Эти частные производные существуют всегда, поэтому найдем стационарные точки, т.е. точки, в которых обе производные равны нулю.
Таким образом, если функция имеет экстремум, то он достигается именно в точке (-0,6;-1,2). Найдем частные производные второго порядка.
Следовательно, функция экстремума не имеет.
Пример
38. Исследовать
на экстремум функцию
.
Найдем частные производные первого порядка
Эти частные производные существуют всегда, поэтому найдем стационарные точки, т.е. точки, в которых обе производные равны нулю.
Таким образом, если функция имеет экстремум, то он достигается именно в точке (0;0). Найдем частные производные второго порядка.
Следовательно,
в точке (0;0) функция имеет минимум и
Содержание
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 3
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 4
1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя 4
2. Найти производные следующих функций 10
3.Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы 17
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте [a, b] 20
5. Провести полное исследование функции и построить ее график 21
6. Найти частные производные первого порядка функции 23
7. Исследовать на экстремум функцию z=z(x;y) 24
I. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 26
II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА 33
III. ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ 36
IV. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 39
НА СЕГМЕНТЕ 39
V. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ 40
VI. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 53
VII. ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ АРГУМЕНТОВ 54
Для заметок Для заметок