- •Н.С.Распопова – Математический анализ. Часть 1. Общие методические указания
- •Задания для контрольной работы
- •1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя
- •2. Найти производные следующих функций
- •3.Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы
- •4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте [a, b]
- •5. Провести полное исследование функции и построить ее график
- •6. Найти частные производные первого порядка функции
- •Методические указания к выполнению контрольной работы
- •I. Вычисление пределов
- •II. Вычисление производных функции одного аргумента
- •III. Применение правила лопиталя
- •IV. Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте
- •V. Исследование функций и построение их графиков
- •VI. Вычисление частных производных
- •VII. Исследование на экстремум функции двух аргументов
- •Содержание
- •Для заметок Для заметок
6. Найти частные производные первого порядка функции
Вариант №1. |
Вариант № 2. |
Вариант №3. |
Вариант №4. |
Вариант №5. |
Вариант №6. |
Вариант №7. |
Вариант №8. |
Вариант №9. |
Вариант №10. |
Вариант №11. |
Вариант №12. |
Вариант №13. |
Вариант №14. |
Вариант №15. |
Вариант №16. |
Вариант №17. |
Вариант №18. |
Вариант №19. |
Вариант №20. |
Вариант №21. |
Вариант №22. |
Вариант №23. |
Вариант №24. |
Вариант №25. |
Вариант №26. |
Вариант №27. |
Вариант №28. |
Вариант №29. |
Вариант №30. |
7. Исследовать на экстремум функцию z=z(x;y)
Вариант №1. |
Вариант №2. |
Вариант №3. |
Вариант №4. |
Вариант №5. |
Вариант №6. |
Вариант №7. |
Вариант №8. |
Вариант №9. |
Вариант №10. |
Вариант №11. |
Вариант №12. |
Вариант №13. |
Вариант №14.
|
Вариант №15. |
Вариант №16. |
Вариант №17. |
Вариант №18. |
Вариант №19. |
Вариант №20. |
Вариант №21. |
Вариант №22. |
Вариант №23. |
Вариант №24. |
Вариант №25. |
Вариант №26. |
Вариант №27. |
Вариант №28. |
Вариант №29. |
Вариант №30. |
Методические указания к выполнению контрольной работы
I. Вычисление пределов
При вычислении пределов обычно используют следующие теоремы.
Предел суммы двух функций равен сумме пределов слагаемых, если пределы слагаемых существуют и конечны.
Предел произведения двух функций равен произведению пределов сомножителей, если пределы сомножителей существуют и конечны.
Предел частного равен частному от деления пределов, если пределы делимого и делителя существуют, конечны и предел делителя не равен нулю.
Т.е., если существуют конечные пределы и ,
то ,
,
, если .
Функции, полученные с помощью конечного числа операций сложения, умножения, деления, суперпозиции из основных элементарных
, называются элементарными.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если и .
Все элементарные функции непрерывны в своей области определения, поэтому, если точка a принадлежит области определения элементарной функции f(x), то.
Пример 1. Вычислить предел .
.
Если предел одной или обеих функций равен бесконечности, то можно использовать соотношения:
, , ,
; ; ;
; .
Если при подстановке в функцию, стоящую под знаком предела, получается одна из следующих ситуаций , , , , , , , то говорят, что имеет место соответствующая неопределённость. Для раскрытия неопределённостей существуют специальные приёмы.
Например, если и неопределенность получена при делении многочленов, то для раскрытия неопределённости обычно делят числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной числителя или знаменателя.
Пример 2. Вычислить предел .
.
Здесь имелась неопределённость . Для её раскрытия мы разделили числитель и знаменатель на . А затем применили теорему о пределе частного. Предел каждой из «маленьких» дробей равен нулю, так как в их числителях стоят числа, а в знаменателях – бесконечно большие величины.
Пример 3. Вычислить предел .
В этом примере мы делили на старшую степень числителя. Если бы мы разделили на старшую степень знаменателя, то получили бы
.
Пример 4. Вычислить предел .
Запись [ +0 ] означает, что в знаменателе стоит положительная бесконечно малая величина. Поэтому (+4)/(+0) = +.
Заметим, что считается, n всегда стремится к (+).
Если и неопределённость получается при делении многочленов, то числитель и знаменатель нужно разложить на множители, а затем сократить на ().
При этом нужно помнить, что квадратный трёхчлен раскладывается на множители следующим образом: , где и - корни квадратного трёхчлена. Их можно найти по формуле
.
Пример 5. Вычислить предел .
.
Если в числителе или знаменателе дроби есть разность квадратных корней, то можно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение, т.е. на сумму этих же корней, а затем воспользоваться формулой разности квадратов:
Пример 6. Вычислить предел .
=
Если функция, стоящая под знаком предела, содержит тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то можно использовать первый замечательный предел или следствия из него.
Кроме того, полезно вспомнить тригонометрические формулы:
cos 0 = 1, sin 0 = 0,
, ,
, ,
cos (-x) = cos x, sin(-x)=-sin(x),
,
.
Пример 7. Вычислить предел .
1 1
1 1
Пример 8. Вычислить предел .
1
1
Для раскрытия неопределённости типа [] (и только такого типа) используется второй замечательный предел: , где е – число Непера, .
При решении примеров обычно используют следствия из второго замечательного предела: или .
Пример 9. Вычислить предел .
Следовательно, имеем неопределенность []. Выделим внутри скобки единицу:
Здесь при , т.е. является бесконечно малой величиной при .
Для использования второго замечательного предела нужно, чтобы в показателе стояла величина обратная этой бесконечно малой .
При возведении в степень показатели перемножаются, поэтому полученное выражение нужно возвести в степень (-4)/(2x+1), тогда выражение под знаком предела в результате наших преобразований не изменится. Необходимо не забыть о прежнем показателе степени. Итак,
=.
Пример 10. Вычислить предел .
.