2. Игры в смешанных стратегиях.

Кроме игр с Седловой точкой имеются игры без таких точек. При многократном проведении игры игрокам выгодно менять свои стратегии. Предположим, что в ходе игры игрок А применяет свои чистые стратегии А₁,А₂,…,А_m соответственно с вероятностями . Так как А₁,А₂,…,А_m образуют полное пространство событий, то . Игрок В применяет свои чистые стратегии В₁,В₂,…,В_n в соответствии с вероятностями , то .

Упорядоченное множество называют смешанной стратегией игрока А.

Упорядоченное множество называют смешанной стратегией игрока В.

В частном случае, если для игрока А все за исключением одного, то игрок А применят одну из своих чистых стратегий. Аналогично, чистые стратегии игрока В являются частными случаями его смешанных стратегий.

Пусть игрока А и В придерживаются смешанных стратегий, при этом игрок А выбирает свою стратегию А_i с вероятностью , а игрок В выбирает свою стратегию В_j с вероятностью . Тогда комбинацию стратегий А_i , В_j можно выбрать с вероятностью равной (в соответствии с теоремой об умножении вероятностей). В смешанных стратегиях игра приобретает случайный характер, случайным будет и выигрыш игрока А (проигрыш В). В этом случае за величину выигрыша принимают среднее значение выигрыша, а точнее математическое ожидание: .

Имеет место следующая основная теорема теории игр.

Теорема. Каждая конечная матричная игра имеет хотя бы одно решение возможно в области смешанных стратегий.

- верхняя цена игры

- нижняя цена игры

Смешанные стратегии называются оптимальным, если имеет место следующее равенство: , где - цена игры и .

Придерживаясь своей оптимальной стратегии игрок А получает гарантированный выигрыш при любых действиях игрока В не меньше, чем цена игры .

Придерживаясь своей оптимальной стратегии игрок B получает возможность проиграть не больше, чем цена игры при любых действиях игрока А .

Задача решения матричной игры тем сложнее, чем больше размер матрицы. Поэтому в теории матричных игр рассматриваются способы, с помощью которых решение матричной игр можно свести к решению других более простых игр, в частном случае уменьшить размерность игровой или платёжной матрицы. Уменьшить размерность игровой матрицы можно при наличии в этой матрице дублирующих или доминирующих стратегий.

Дублирующими называются стратегии, которым соответствуют одни и те же элементы игровой матрицы, т.е. если матрица игры содержит одинаковые столбцы или строки.

Если все элементы i-той строки меньше соответствующих элементов k-той строки, то стратегия А_i игрока А соответствующая этой строке будет доминирующей. В этом случае i-тую строку в матрице можно убрать. Если все элементы j-того столбца будут больше соответствующих элементов r-того столбца, то стратегия В_j игрока В будет доминирующей и в этом случае j-тый столбец матрицы можно отбросить. Наиболее простой игрой является матрица 2х2, когда оба игрока имеют по две чистых стратегии. Пусть игра без седловой точки, матрица игры имеет вид: , требуется найти оптимальную смешанную стратегию игрока А.

Она отличается тем свойством, что, каковы бы ни были действия противника (если только он не выходит за пределы своих «полезных» стратегий), выигрыш будет равен цене игры . В игре 2х2 обе стратегии противника являются «полезными», - иначе игра имела бы решение в области чистых стратегий (седловую точку). Стратегия игрока В также смешанная, поэтому если игрок А применяет свою оптимальную стратегию, то игрок В может придерживаться любой из своих чистых стратегии В₁, В₂, не изменяя среднего выигрыша . Отсюда имеем два уравнения:

из которых, принимая во внимание, что , получим:, .

Цену игры найдем, подставляя в любое из уравнений системы. .

Если цена игры известна, то для определения оптимальной стратегии противника, игрока В достаточно одного из уравнений системы: . Откуда, учитывая, что , имеем: , .