Пусть x1, х2, х3 – число произведенных единиц изделий u1, u2, u3 соответственно. Они обращают в мах целевую функцию, то есть функцию стоимости

Z = c₁ x₁ + c₂ x₂ + c₃ x₃ + c₄ x₄ (3)

и удовлетворяют следующим неравенствам:

(4) (5)

3) Задача о перевозке грузов

Имеем m складов – С₁, С₂, …, С_m, и n пунктов потребления – П₁,П₂,…,П_n. Нужно установить план перевозок со складов С₁, С₂, …, С_m в пункты П₁,П₂,…,П_n некоторых товаров. На складах С₁, С₂, …, С_m имеются запасы товаров в количестве a₁, a₂, …, a_m. Пункты потребления П₁,П₂,…,П_n подали заявки на b₁, b₂, …, b_n единиц товара. Заказы выполнимы, то есть сумма всех заказов не превосходит суммы всех имеющихся запасов.

.

Склады С₁, С₂, …, С_m связаны с пунктами потребления какой-то сетью дорог с определенными тарифами на перевозки. Стоимость перевозки одной единицы товара со склада С_i в пункт П_j равняется с_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n). Требуется составить план перевозок, то есть указать с какого склада, в какие пункты и какое количество товара нужно взять, чтобы общие расходы на все перевозки были мин.

Обозначим через х_ij количество единиц товара, направляемого со склада С_i в пункт П_j (если с этого склада в этот пункт товара не направляется, то x_ij=0).

Решение данной задачи состоит из m*n чисел, образующих матрицу m*n:

x₁₁ x₁₂ … x_1n

x₂₁ x₂₂ … x_2n

……………

x_m1 x_m2 … x_mn

Требуется подобрать такие значения переменных x_ij , чтобы были выполнены следующие условия:

Так как все заказы должны быть выполнены, то имеем:

При этом стоимость перевозок:

Заметим, что если сумма всех поступивших заявок равна сумме всех товаров, то неравенства обращаются в равенства. Такая задача о перевозках с ограничениями равенствами называется транспортной задачей.

2. Различные эквивалентные записи задач линейного программирования

Общей задачей линейного программирования (ЗЛП) называют задачу, в которой требуется максимизировать (минимизировать) функцию

x_j  0 (j=1, 2, …, t) (3)

x_j - неограничены (j = t+1, t+2, …, n) (4)

где a_ij, c_j, b_i – некоторые заданные действительные числа.

Функция (1) называется целевой или линейной функцией; соотношения (2), (3), (4) – ограничениями.

В дальнейшем мы будем оперировать двумя записями задач программирования.

ЗЛП называется записанной в симметрической стандартная форме, если требуется найти max, min целевой функции (1) при ограничениях:

(5)

x_j  0 (j=1, 2, …, n) (6)

ЗЛП называется записанной в канонической форме, если требуется найти max, min целевой функции (1) при ограничениях:

(7)

x_j  0 (j=1, 2, 3, …, n) (8)

Часто нужно переходить от одной формы записи к другой ей эквивалентной. Например, некоторые ограничения содержат неравенства , то можно перейти к неравенствам .

Если на некоторые переменные не наложены ограничения, то эти переменные можно представить всегда в виде разности двух переменных, на которые уже наложены ограничения.

Например, x_r = x_r^’ - x_r^’’ , где x_r^’ 0, x_r^’’ 0.

При необходимости задачу масксимизации можно свести к задаче минимизации и наоборот. Дело в том, что максимум целевой функции Z всегда совпадает с минимумом функции –Z, взятым с противоположным знаком.

Чтобы задачу минимизации Z заменить максимизацией, то надо взять функцию (-Z), найти её мах, затем поменять знак полученного числа, В итоге получим мин функции Z.

Рассмотрим некоторые формы записи ЗЛП (канонической (1), (7), (8)).

а) Векторная форма записи

где С и х – векторы, Сх – скалярное произведение векторов.

б)Матричная форма записи

Найти мах (мин) функции при ограничениях , где С – матрица-строка , А матрица , Х, А₀ - матрицы столбцы.

в) Запись с помощью суммирования

Найти мах (мин) при ограничениях: (i = 1, 2, …, m) (j= 1, 2, …, n)

Определение 1. Планом или допустимым решением ЗЛП называется вектор , удовлетворяющий всем ограничениям (7), (8). Любой формы записи.

Определение 2. Опорным планом (допустимым базисным решением) называется вектор , если вектор A_j взят в разложении с положительными линейно независимыми коэффициентами. Векторы А_j являются m – мерными векторами, а поэтому число положительных компонент плана не превосходит m.

Определение 3. Опорный план называется невырожденным, если число положительных компонент этого плана равно m. В противном случае план является вырожденным.

Определение 4. Оптимальным опорным планом называется опорный план, доставляющий целевой функции максимальные и минимальные значения.

Определение 5. Базисным опорным планом называется система из m линейно независимых векторов, включающих в себя вектор А_j , отвечающая положительным компонентам опорного плана.

Определение 6. Компоненты опорного плана, соответствующие векторам базиса будем называть базисными переменными, остальные компоненты называются свободными или небазисными переменными.