Транспортные задачи

14. Решить транспортные задачи, заданные таблицами:

a)

Поставщики	Потребители					Запасы
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	6	5	2	7	5	270
A2	5	3	2	3	7	230
A3	5	7	6	2	3	160
Потребности	100	150	150	150	110

Решение. Составим исходный опорный план методом северо-западного угла. В клетку (1,1) записываем min(270,100)=100. В клетке (1,2) записываем min(270-100,150)=150. В клетке (1,3) записываем min(170-150,150)=20. В клетке (2,3) записываем min(150-20,230)=130. В клетке (2,4) записываем min(230-130,150)=100. В клетке (3,4) записываем min(150-100,160)=50. В клетке (3,5) записываем min(160-50,110)=110. На этом заполнение таблицы завершено. Получили исходный опорный план Таблица 1.

Таблица 1

Bj Ai	100	150	150	150	110
270	6 100	- 5 150	+ 2 20	7	5	u1=0
230	5	3 +	2 130 -	3 100	7	u2=0
160	5	7	6	2 50	3 110	u3=-1
	v1=6	v2=5	v3=2	v4=3	v5=4

Этой таблице соответствует опорный план

Матрица тарифов (издержек при перевозке) такова.

Найдем значение целевой функции

Исследуем полученный план перевозок на оптимальность. Для этого для заполненных клеток составим уравнения , где - потенциал i-того поставщика, а - потенциал j-того потребителя, - стоимость перевозки единицы груза от i-того поставщика j–тому потребителю. Имеем:

Примем, что , тогда получим:

Проверим теперь, соблюдается ли условие потенциальности для свободных клеток. Находим косвенные тарифы для незаполненных клеток и сравним их с тарифами соответствующих клеток:

Полученный опорный план не является оптимальным, т.к. косвенные тарифы двух клеток больше тарифов этих клеток. Выберем среди этих клеток клетку с разностью между тарифами, наибольшей по абсолютной величине. Это клетка (2,2), заполним её. Для этого выберем замкнутый цикл с вершинами в клетках (2,2), (2,3), (1,3), (1,2). Составим чередование знаков «+» и «-», при этом в самой клетке (2,2) поставим знак «+». В клетках с отрицательными знаками находим наименьшее число min(150, 130)=130. Содержимое клеток (2,2) и (1,3) увеличим на 130 единиц, а содержимое клеток (1,2) и (2,3) уменьшим на 150 единиц. В результате получаем следующую таблицу Таблица 2:

Таблица 2

Bj Ai	100	150	150	150	110
270	6 100	- 5 20	2 150	7	+ 5	u1=0
230	5	3 +130	2	3 100 -	7	u2=-2
160	5	7	6	+ 2 50	3 110 -	u3=-3
	v1=6	v2=5	v3=2	v4=5	v5=6

Эта таблица дает следующий опорный план:

Значение целевой функции:

Исследуем полученный план перевозок на оптимальность, так как рассмотрено выше. Имеем:

Примем, что , тогда получим:

Проверим теперь, соблюдается ли условие потенциальности для свободных клеток.

Полученный опорный план не является оптимальным, т.к. косвенный тариф одной клетки больше тарифа этой клетки. Клетку (1,5) заполним, выбрав замкнутый цикл с вершинами в клетках (1,2), (1,5), (3,5), (3,4), (2,4), (2,2). Составим чередование знаков «+» и «-», при этом в самой клетке (1,5) поставим знак «+». В клетках с отрицательными знаками находим наименьшее число min(20,100,110)=20. Содержимое клеток (1,5), (3,4), (2,2) увеличим на 20 единиц, а содержимое клеток (1,2), (3,5) и (2,4) уменьшим на 20 единиц. В результате получаем следующую таблицу Таблица 3:

Таблица 3

Bj Ai	100	150	150	150	110
270	6 100	5	2 150	7	5 20	u1=0
230	5	3 150	2	3 80	7	u2=-1
160	5	7	6	2 70	3 90	u3=-2
	v1=6	v2=4	v3=2	v4=4	v5=5

Эта таблица дает следующий опорный план:

.

Значение целевой функции:

Исследуем полученный план перевозок на оптимальность, так как рассмотрено выше. Имеем:

. Примем, что , тогда получим:

Проверим теперь, соблюдается ли условие потенциальности для свободных клеток.

Косвенные тарифы всех клеток не больше тарифов этих клеток. Значит полученный опорный план является оптимальным, а затраты по перевозке грузов минимальны.

.

Задачи для самостоятельного решения:

2. Составить математическую модель транспортной задачи и найти решение. Запасы поставщиков: , потребности потребителей: , матрица тарифов перевозок:

3. Составить математическую модель транспортной задачи и найти решение. Запасы поставщиков: , потребности потребителей: , матрица тарифов перевозок: