- •Р.И. Горохова, а.П. Декина Исследование операций
- •§1. Предмет и задачи исследования операций
- •Примеры задач, решаемых в исследовании операций
- •§2. Линейное программирование
- •1.Задачи линейного программирования
- •Задача о пищевом рационе
- •Пусть x1, х2, х3 – число произведенных единиц изделий u1, u2, u3 соответственно. Они обращают в мах целевую функцию, то есть функцию стоимости
- •3) Задача о перевозке грузов
- •2. Различные эквивалентные записи задач линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация злп. Графический метод решения
- •4. Симплексный метод
- •§ 3. Транспортная задача
- •§ 4. Элементы теории матричных игр
- •1. Предмет теории игр. Основные понятия. Игры в чистых стратегиях.
- •Игры в смешанных стратегиях.
- •Графический способ решения игр.
- •§ 5. Практикум (задачи и решения). Задачи линейного программирования
- •Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Транспортные задачи
- •Элементы теории матричных игр.
- •§ 6. Контрольные задания Задание 1
- •Варианты задания
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Решить симплекс-методом задачу лп, определив начальный опорный план методом искусственного базиса (см. Задачи варианта из задания 1).
- •Задание 5
- •Транспортная задача
- •Задание 6 Решить матричную игру, заданную матрицей
- •Вопросы для самостоятельной работы
- •Вопросы к экзамену по «Исследованию операций» (4 курс фмф, 8 семестр)
- •Литература
- •Исследование операций
§ 4. Элементы теории матричных игр
1. Предмет теории игр. Основные понятия. Игры в чистых стратегиях.
Теорией игр называется математическая теория конфликтных ситуаций.
Игра это упрощенная модель конфликтной ситуации.
Задача теории игр: выработка рекомендаций поведения, которое приводит к наибольшей выгоде одной из сторон.
Игры различаются по числу участвующих сторон. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока с противоположными интересами. Если число участников более двух, то игра называется множественной.
В парной игре называют А и В. В правилах игры перечисляют все возможные ситуации и все возможные варианты действий игроков. Объем информации каждой из сторон о поведении другой и каждая игра явно или косвенно должна быть оценена некоторым числом. Это число называется выигрышем или проигрышем. Кодом теории матричных игр называется выбор одного из предложенных противниками игры действий.
Стратегия – план, по которому совершается выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации.
Задача состоит в выборе стратегии, приводящей к наибольшему выигрышу, предположительно, что второй игрок так же выбирает наилучшие для себя стратегии. В зависимости от стратегий игры бывают конечные и бесконечные.
Парной игрой с нулевой суммой называется игра, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока.
Пусть игрок А выбирает одну из своих стратегий А1, А2, …Аm, игрок В выбирает B1, B2, …,Bn. Причем выбор осуществляется при полном незнании выбора другого игрока. Парная игра состоит из двух ходов:
-
выбор игроком А своих стратегий;
-
выбор игроком В своих стратегий.
Пусть - выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при условии, что игрок А выбирает стратегию Аi, а игрок B – Bj. Элементы располагают в виде таблицы:
-
Bj
Ai
B1
B2
…
Bn
A1
a11
a12
…
a1n
A2
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
Am
am1
am2
…
amn
Эта таблица называется платежной матрицей игры.
Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию Аi. В наихудшем для себя варианте игрок А получит выигрыш равный минимальному элементу находящемуся в i-той строке: . Поэтому игрок А должен выбрать такую стратегию, при которой он получит выигрыш . -чистая нижняя цена игры или максимин, а стратегия, при которой достигается максимин называется максиминной.
Пусть игрок В выбирает некоторую стратегию Bj, при которой его проигрыш не превосходит максимального значения элементов j-того столбца: . Поэтому игрок В должен минимизировать свой проигрыш, т.е. выбрать стратегию, при которой этот проигрыш . -чистая верхняя цена игры или минимакс, а стратегия, при которой достигается минимакс называется минимаксной.
Таким образом, используя свои чистые стратегии игрок А обеспечивает себе выигрыш не превосходящий , а игрок В – проигрыш не меньше .
Таким образом, для любой конечной матричной игры чистая нижняя цена игры не превосходит чистой верхней цены. Если чистая нижняя цена игры совпадает с чистой верхней ценой, т.е. , то матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях. Пусть i0 и j0 – номера чистых стратегий игроков А и В, при которых достигается это равенство. Тогда пара чистых стратегий (Аi0,Bj0) называется седловой точкой матричной игры. Элемент ai0j0 платежной матрицы называется седловым элементом матричной игры, называется чистой ценой игры, (Аi0, Bj0, ) называют решением игры.
Если игра имеет седловую точку, то седловой элемент ai0j0 является наименьшим для строки с номером i0 и наибольшим для столбца с номером j0. Поэтому .
Если игрок В отклоняется от своей оптимальной стратегии, то при этом его проигрыш возрастет, аналогичное отклонение игрока А от своей оптимальной стратегии ведет к уменьшению его выигрыша. Таким образом, максиминная и минимаксная стратегии в игре с седловой точкой обладают устойчивостью и создают ситуацию равновесия в игре. Итак, если игровая матрица содержит седловую точку, то решение игры заранее известно. Каждый из игроков имеет свою оптимальную стратегию, для игрока А – максиминная, для игрока В – минимаксная.