§2. Линейное программирование

1.Задачи линейного программирования

Детерминированные задачи занимают в исследовании операций большую роль, т. к. в них отражены разнообразные проблемы распределения ограниченных средств в различных сферах человеческой деятельности.

Они формулируются следующим образом:

При заданных условиях ₁, ₂, …, _n выбрать такие решения х₁,х₂, …, х_n, которые обращают в мах или мин показатель эффективности W.

Такие задачи называются задачами математического программирования (т.е. планирование, принятие плана). Большое место занимают задачи линейного программирования. ЗЛП характеризуются тем, что в них показатель эффективности W зависит от элементов решения х₁,х₂, …, х_n линейно, то есть представляет собой линейную функцию этих элементов. Ограничения, наложенные на элементы решения, представляют собой линейные уравнения и неравенства.

1. Задача о пищевом рационе

Некоторая ферма производит откорм скота с производственной целью. Имеется четыре вида кормов П₁, П₂, П₃, П₄. Стоимость единицы продукта равна соответственно С₁, С₂, С₃, С₄. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, содержащий белков не менее b₁ единиц, углеводов - не менее b₂ единиц, жиров – не менее b₃ единиц. Для продуктов П₁, П₂, П₃, П₄ содержание белков, углеводов, жиров содержащихся на единице продукта известно и задано таблицей.

Продукт	Элементы
	белки	углеводы	жиры
П1	а11	а12	а13
П2	а21	а22	а23
П3	а31	а32	а33
П4	а41	а42	а43

x₁, х₂, х₃, х₄ – количество продуктов П₁, П₂, П₃, П₄. Показателем эффективности является стоимость потребляемой продукции.

Z = c₁ x₁ + c₂ x₂ + c₃ x₃ + c₄ x₄ (1)

Система ограничений:

Математическая формулировка этой задачи:

Найти такие неотрицательные х₁, х₂, х₃, х₄, удовлетворяющие системе равенства и одновременно обращающие в min целевую функцию Z.

2) Задача о планировании производства

Предприятие производит изделия трех видов U₁, U₂, U₃. По каждому виду изделия на предприятии существует план, по которому оно обязано выполнить не менее b₁ единиц изделия U₁, b₂ – U₂, b₃ – U₃. План может быть перевыполнен, но в определенных пределах. Условия спроса ограничивают количество производимых единиц изделий каждого вида, не более соответственно ₁, ₂, ₃. На изготовление изделий идет какое-то сырьё. Всего 4 вида сырья S₁, S₂, S₃, S₄, причем их запасы ограничены числами ₁, ₂, ₃, ₄. Какое количество сырья идет на изготовление каждого вида изделий задано таблицей.

Сырьё	Изделия
	U1	U2	U3
S1	а11	а12	а13
S2	а21	а22	а23
S3	а31	а32	а33
S4	а41	а42	а43

При реализации изделия U₁ получаем прибыль С₁, U₂ – С₂, U₃ – С₃.

Требуется так спланировать производство, чтобы определить, сколько и каких изделий следует производить, чтобы план был выполнен, но при отсутствии затоваривания, а суммарная прибыль обращалась в максимум.