§ 4. Элементы теории матричных игр

1. Предмет теории игр. Основные понятия. Игры в чистых стратегиях.

Теорией игр называется математическая теория конфликтных ситуаций.

Игра это упрощенная модель конфликтной ситуации.

Задача теории игр: выработка рекомендаций поведения, которое приводит к наибольшей выгоде одной из сторон.

Игры различаются по числу участвующих сторон. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока с противоположными интересами. Если число участников более двух, то игра называется множественной.

В парной игре называют А и В. В правилах игры перечисляют все возможные ситуации и все возможные варианты действий игроков. Объем информации каждой из сторон о поведении другой и каждая игра явно или косвенно должна быть оценена некоторым числом. Это число называется выигрышем или проигрышем. Кодом теории матричных игр называется выбор одного из предложенных противниками игры действий.

Стратегия – план, по которому совершается выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации.

Задача состоит в выборе стратегии, приводящей к наибольшему выигрышу, предположительно, что второй игрок так же выбирает наилучшие для себя стратегии. В зависимости от стратегий игры бывают конечные и бесконечные.

Парной игрой с нулевой суммой называется игра, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока.

Пусть игрок А выбирает одну из своих стратегий А₁, А₂, …А_m, игрок В выбирает B₁, B₂, …,B_n. Причем выбор осуществляется при полном незнании выбора другого игрока. Парная игра состоит из двух ходов:

1. выбор игроком А своих стратегий;

2. выбор игроком В своих стратегий.

Пусть - выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при условии, что игрок А выбирает стратегию А_i, а игрок B – B_j. Элементы располагают в виде таблицы:

Bj Ai	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Эта таблица называется платежной матрицей игры.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию А_i. В наихудшем для себя варианте игрок А получит выигрыш равный минимальному элементу находящемуся в i-той строке: . Поэтому игрок А должен выбрать такую стратегию, при которой он получит выигрыш . -чистая нижняя цена игры или максимин, а стратегия, при которой достигается максимин называется максиминной.

Пусть игрок В выбирает некоторую стратегию B_j, при которой его проигрыш не превосходит максимального значения элементов j-того столбца: . Поэтому игрок В должен минимизировать свой проигрыш, т.е. выбрать стратегию, при которой этот проигрыш . -чистая верхняя цена игры или минимакс, а стратегия, при которой достигается минимакс называется минимаксной.

Таким образом, используя свои чистые стратегии игрок А обеспечивает себе выигрыш не превосходящий , а игрок В – проигрыш не меньше .

Таким образом, для любой конечной матричной игры чистая нижняя цена игры не превосходит чистой верхней цены. Если чистая нижняя цена игры совпадает с чистой верхней ценой, т.е. , то матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях. Пусть i₀ и j₀ – номера чистых стратегий игроков А и В, при которых достигается это равенство. Тогда пара чистых стратегий (А_i0,B_j0) называется седловой точкой матричной игры. Элемент a_i0j0 платежной матрицы называется седловым элементом матричной игры, называется чистой ценой игры, (А_i0, B_j0, ) называют решением игры.

Если игра имеет седловую точку, то седловой элемент a_i0j0 является наименьшим для строки с номером i₀ и наибольшим для столбца с номером j₀. Поэтому .

Если игрок В отклоняется от своей оптимальной стратегии, то при этом его проигрыш возрастет, аналогичное отклонение игрока А от своей оптимальной стратегии ведет к уменьшению его выигрыша. Таким образом, максиминная и минимаксная стратегии в игре с седловой точкой обладают устойчивостью и создают ситуацию равновесия в игре. Итак, если игровая матрица содержит седловую точку, то решение игры заранее известно. Каждый из игроков имеет свою оптимальную стратегию, для игрока А – максиминная, для игрока В – минимаксная.