3. Геометрическая интерпретация злп. Графический метод решения

Рассмотрим ЗЛП с геометрической точки зрения. Мы знаем, что любая упорядоченная совокупность n чисел называется точкой или вектором n-мерного пространства. Поэтому планы ЗЛП мы будем трактовать как точки n-мерного пространства.

Множество точек n-мерного пространства называется выпуклым, если оно наряду с любыми точками целиком содержит и отрезок, соединяющий их, т.е. содержит множество всех точек Х, таких, что

, где .

Множество называется выпуклым, если оно наряду с любыми точками содержит их выпуклую линейную комбинацию.

Теорема. Множество планов ЗЛП выпукло.

Док-во: Пусть Х₁, Х₂ два каких-то плана ЗЛП. По определению ЗЛП . Тогда и .

Покажем, что также является планом ЗЛП.

Имеем

Тогда по определению ЗЛП –план ЗЛП. Значит множество всех планов выпукло. Что и требовалось доказать.

Множество всех планов ЗЛП может быть представлено в различном виде:

Ограничено Неограниченно

Состоит из одной точки Пустое множество

Т.о. множество планов ЗЛП есть некоторая выпуклая многогранная область или многогранник. Этот многогранник называется многогранником планов. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению называются гиперплоскостью.

Тогда с геометрической точки зрения целевая функция Z представляет собой некоторое семейство гиперплоскостей, имеющих нормальный вектор .

В направлении нормального вектора С целевая функция Z возрастает наискорейшим образом. Это следует из того, что

или , или направление grad всегда с наибольшим значением функции.

На геометрическом языке ЗЛП можно сформулировать: найти , определяемую системой неравенств _, в которой целевая функция Z принимает наибольшее (max) или минимальное (min) значение.

В частном случае при n = 2 система ограничений, записанных в виде неравенств, имеет вид: _, и ЗЛП с геометрической точки зрения формулируется следующим образом:

Найти точку многоугольника планов, в которой функция принимает max (min) значение.

Из самой формулировки задачи сразу следует геометрический метод решения задачи:

1. строим многоугольник планов ЗЛП, определяемый системой ограничений;

2. строим вектор и прямую Z = Const, Z = 0: С₁х₁ + С₂х₂ = 0;

3. перемещая прямую Z = 0 в направлении вектора ( в направлении вектора ) находят точку A_max (В_min) , в которой целевая функция принимает max (min) значение;

4. решают совместно систему, составленную из уравнений прямых, пересекающихся в точке оптимума (max, min) Находят координаты этих точек:

х₁ = х₁^*, х₂ = х₂^*

По найденным координатам находят

Z_max (Z_min) = С₁х₁^* + С₂х₂^*.

В зависимости от вида многоугольника планов и взаимного расположения вектора и многоугольника планов возможны различные случаи.

Целевая функция имеет Min в т. А, max достигается на отрезке ВС в любой точке.

А)

Б)

В)

Из рассмотренных примеров следует, что целевая функция оптимальные значения (max, min) может достигать только в вершинах многоугольников планов. Это утверждение справедливо для любых n. Имеет место следующее утверждение:

Теорема: Целевая функция, определенная в выпуклом многограннике планов достигает своего наибольшего (наименьшего) значения, по крайней мере, в одной вершине этого многогранника. Если целевая функция достигает оптимального значения более чем в 1 вершине, то она достигает такого значения в любой выпуклой линейной комбинации этих вершин.

Эта теорема означает, что гиперплоскость, соответствующая наибольшему значению целевой функции проходит либо через вершину многогранника планов, либо через ребро, либо через грань.

Пример. Найти max, min функции Z = х₁ + 3х₂ при условиях:

А (0,5,0, Z_min= 0,5 + 30 = 0,5

Графически удобнее всего решать задачи при n=2. Можно решить задачу в принципе при n=3. В случае n>3 задача графическому решению не поддается. Но оказывается, если число переменных на 2 единицы больше числа уравнений в ограничениях (линейно независимых уравнений), то задачу можно решить графически.

Пусть задача записана в канонической форме, т. е. ограничения представляют собой уравнения. Выразим из этой системы все переменные, через какие–то 2 переменные. Мы получим, с учетом того, что все переменные неотрицательны, ЗЛП в симметричной форме для 2-х переменных. Решая эту задачу графически, находим 2 компоненты базисного решения. Затем, подставляя найденные компоненты базисного решения в систему ограничений, заданную в виде уравнений, находим решение этой системы. Тем самым находим остальные компоненты оптимального плана.