Симплекс-метод решения задач линейного программирования

10. Решить симплекс-методом следующие задачи ЛП, начав с указанных опорных планов.

a)

Решение. Чтобы выбрать исходный опорный план, необходимо привести систему к разрешенному виду , когда базисные переменные выражены через свободные. Для этого исключим х6 из первого и третьего уравнений:

Полученную систему можно переписать в виде:

Форма Z будет иметь вид:

Неизвестные х4, х5, х6 –базисные, х1, х2, х3 – свободные. Поэтому (0,0,0,3,4,1) – невырожденный опорный план, для которого Z= 6. Находим новый опорный план со значением Z меньше 6. Коэффициент в Z только при х3 отрицательный, поэтому в базисные переменные необходимо ввести х3. Находим отношения свободных членов к модулям отрицательных коэффициентов при х3 в системе: . Наименьшим является , поэтому 12 есть разрешающий элемент и х3 вводим вместо х4. Вычисления удобно производить, пользуясь симплексными таблицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Начальная Таблица 1 имеет вид:

Таблица 1

Базисные неизвестные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	3	-8	-3	12	1	0	0
x5	4	-2	-1	6	0	1	0
x6	1	3/2	1/2	-2	0	0	1
Форма Z	6	-25/2	-7/2	19	0	0	0

Коэффициенты при неизвестных записаны с противоположными знаками, а разрешающий элемент выделен жирным шрифтом. Далее переходим к следующей таблице. Для этого умножаем строку с разрешающим элементом на 1/12, чтобы на месте разрешающего элемента получить 1. Новую строку записываем вместо прежней, затем прибавляем её, умножив на -1/6, 2/6, -19/6 ко 2, 3, 4 строкам Таблицы 1 соответственно, чтобы в клетках столбца х3 появились нули. Получили Таблицу 2:

Таблица 2

Базисные неизвестные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6
х3	1/4	-2/3	-1/4	1	1/12	0	0
x5	5/2	2	1/2	0	-1/2	1	0
x6	3/2	1/6	0	0	1/6	0	1
Форма Z	5/4	1/6	5/4	0	-19/12	0	0

Выбираем в последней строке наибольший из 1/6, 5/4 коэффициент, то есть 5/4. Поэтому в базисные неизвестные необходимо ввести х2. Выбираем в столбце х2 разрешающий элемент – 1/2 (в таблице 2 выделен). Выполняем переход от Таблицы 2 к Таблице 3 по описанному ранее алгоритму:

Таблица 3

Базисные неизвестные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6
х3	3/2	1/3	0	1	-1/6	½	0
x2	5	4	1	0	-1	2	0
x6	3/2	1/6	0	0	1/6	0	1
Форма Z	-5	-29/6	0	0	-1/3	-5/2	0

В последней таблице 3 у формы Z нет положительных коэффициентов при неизвестных, то есть Z нельзя уменьшить. Таким образом, план Х^*=(0,5,3/2,0,0,3/2) является оптимальным, Zmin = Z(X^*) = -5.

Задачи для самостоятельного решения:

b)c)

11. Записать следующие задачи в форме канонических задач ЛП и найти их решения симплекс-методом:

a) b)

12. Решить симплекс-методом следующие задачи ЛП, определив начальный опорный план методом искусственного базиса:

a)

Решение. Вместо данной задачи будем решать задачу минимизации функции:

.

Прибавим второе уравнение к третьему, тогда х5 будет содержаться только во втором уравнении:

Знаки коэффициента при х5 и свободного члена 4 во втором уравнении совпадают, поэтому в качестве одной из базисных переменных выбираем х5.В остальные уравнения вводим так называемые искусственные переменные y1 и y2. Система имеет вид:

.

Форма Z принимает вид

. Составляется вспомогательная форма: , которая минимизируется в первую очередь. Начальный опорный план . Таким образом, необходимо вытеснить из базиса и получить , тогда задача имеет решение.

Первая симплекс-таблица имеет вид:

Таблица 1

Базисные неизвестные	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5	y1	y2
х5	4	1	-1	2	1	1	0	0
y1	1	-2	1	-1	-1	0	1	0
y2	8	0	0	2	1	0	0	1
F	9	-2	1	1	0	0	0	0
-Z	12	1	-1	7	5	0	0	0

Определим разрешающий элемент (см. предыдущую задачу), это 1 на пересечении строки y1 и столбца х2, поэтому в базисные переменные вводим х2 вместо y1, столбец y1 в новой полученной таблице не пишем:

Таблица 2

Базисные неизвестные	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5	y2
х5	5	-1	0	1	0	1	0
х2	1	-2	1	-1	-1	0	0
y2	8	0	0	2	1	0	1
F	8	0	0	2	1	0	0
-Z	13	-1	0	6	4	0	0

Разрешающим элементом теперь является 2 на пересечении строки y2 и столбца х3, поэтому в базисные переменные вводим х3 вместо y2, столбец y2 в новой полученной таблице не пишем:

Таблица 3

Базисные неизвестные	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
х5	1	-1	0	0	-1/2	1
х2	5	-2	1	0	-1/2	0
х3	4	0	0	1	1/2	0
F	80	0	0	0	0	0
-Z	-11	-1	0	0	1	0

Получили , исключены, имеем невырожденный опорный план . Строку с в таблице больше не пишем. Определяем разрешающий элемент таблицы 3: 1/2 на пересечении строки х3 и столбца х4, поэтому в базисные переменные вводим х4 вместо х3, и окончательно получаем таблицу 4:

Таблица 4

Базисные неизвестные	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
х5	5	-1	0	1	0	1
х2	9	-2	1	1	0	0
х4	8	0	0	2	1	0
-Z	-19	-1	0	-2	0	0

Так как в строке –Z нет положительных элементов, то решение закончено. .

Задачи для самостоятельного решения:

b) c)

d) e)

13. Производитель элементов центрального отопления изготовляет радиаторы четырех типов. Ограничения на производство обусловлены количеством рабочей силы и количеством стальных листов для изготовления радиаторов. При выпуске какого количества радиаторов каждого типа прибыль от их продажи будет максимальной? Числовые данные приведены в таблице.

Тип радиатора	А	В	С	Д	Общее количество
Необходимое количество рабочей силы (чел./час)	0,5	1,5	2	1,5	500
Необходимое количество стальных листов (м2)	4	2	6	8	2500
Прибыль от продажи одного радиатора (руб)	5	5	12,5	10