Г. Вечная рента

Вечной рентой называется финансовая рента с бесконечным числом членов. Современной ценностью A ∞ вечной ренты является сумма, которую надо вложить в начальный момент под сложные проценты по данной ставке, чтобы в дальнейшем каждый год (или каждый период начисления процентов) можно было получать с этого вклада сумму R.. Современную ценность вечной ренты можно определить как предел современной ценности конечной ренты при неограниченном увеличении числа членов ренты. Ниже, при нахождении пределов всюду используется тот факт, что при любом а > 1 имеет место: limn→∞ а^-n = 0. Рассмотрим различные виды вечной ренты.   

Годовая рента с начислением процентов в конце каждого года по ставке сложных процентов, равной I

Современная ценность конечной ренты этого вида определяется формулой (5.2).   Найдём предел данного в этой фор муле выражения при неограниченном увеличении п: А∞ = lim A = lim Ran;i = R lim (1-(1+i)-n)/i=R/i. n—»oo          n—юо            n—»oo      Итак, современная ценность вечной ренты в данном случае равна:

А∞=R/i.

(6.13)

 

 р-срочная рента с начислением процентов в конце года по ставке сложных процентов, равной i

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу выражения, данного в формуле (6.3), А∞ = limn→∞ A = limn→∞Ran;i(p) = R lim n→∞((1-(1+i)^-n)/(p[(1+i)^1/p-1]) Из формулы (5.6) следует: р((1 + i)1lp— 1) = i/KPii, следовательно, полученное для А выражение можно записать так:

A∞ = R×((Kp;i)/i).

(6.14)

Вечная рента с периодом больше года с начислением процентов в конце каждого года по ставке сложных процентов, равной I

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу выражения, данного в формуле (6.5): A∞=limn→∞A=                                                        lim n→∞Rr×((an;i)/(sr;i))=Rr×limn→∞((1-(1+i)^-n)/((1+i)^r-1))= Rr×((1+i)^r-1) Из формулы (4.1) следует, что (1 + i)^r — 1 = i ×sr; I поэтому

A∞=Rr/(i×sr;i).

(6.15)

Годовая рента с начислением процентов т раз в год по ставке jm

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу выражения, данного в формуле (6.6): A∞=limn→∞A=limn→∞R((anm;(jm)/m)/(sm;(jm)/m))=R limn→∞((1-(1+(jm)/m)^-nm +)/((1+(jm)/m)^m-1=R/((1+(jm)/m)^m-1)

Из формулы (5.1) следует: (1+(jm)/m))^m-1= ((jm)/m)×(sm;(jm)/m) поэтому A∞=R/((jm)/m)×sm;(jm)/m

р-срочная рента с начислением продентов т раз год по ставке jm

Современная ценность вечной ренты в этом случае paвна пределу выражения из формулы (6.7):

A∞=limn→∞A=limn→∞((R/p)×((anm; (jm)/m)/(sm/p; (jm)/m)))= (R/p)× limn→∞((1-(1+(jm)/m)^-nm)/((1+((jm)/m))^m/p)-1)=(R/p)×(1/(1+(jm)/m)^m/p-1)

Г6.   Вечная рента с периодом больше года с начислением продентов т раз в год по ставке jrn

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу выражения из 4 формулы (6.9): A∞ = lim A = lim Rr((amn;jm/m )/(smr;jm/m))= п→∞              п→∞      =Rr lim ((1-(1+(jm)/m)^-nm)/((1+(jm)/m)^mr-1)= п→∞      = Rr(1/(1+(jm)/m)^mr-1) 111 формулы (5.1) следует, что

Из формулы (5.1) следует: (1+(jm)/m)^m/p=((jm)/m)×(sm/p;(jm)/m) т.е.

A∞=R/(p×((jm)/m)×sm/p;(jm)/m) В частном случае этой ренты, когда т = р, имеем: s1;jm/m =1 и формула (5.17) принимает вид:

A∞=Rr/(m×(jm)/m)=Rr/(jm)                                                           тогда

A∞=Rr/(((jm)/m)×(smr;(jm)/m).

(6.19)