4.3. Эквивалентность различных ставок сложных процентов

S1 = Sо(1 +i)^t.

S1 = S0(1+i)^-t.

Пример 7.   Фермер должен вернуть банку 1200000 руб. 1 июля 1993 года. Какую сумму он должен внести в банк   а) января 1992 года:   б) 1 января 1994 года? Банк даёт ссуды под 8% годовых (сложных). Решение, а) Так как платёж делается на 1.5 года раньше •рока, фермер должен внести в банк меньшую сумму: S=1200000(1 + 0.08)^-1.5 = 1200000×0.8910 = 1069 200 руб. б) В этом случае платёж делается на 0.5 года позже сро-юэтому в банк придётся внести сумму, большую,  чем 1200 000 руб.: S = 1200000(1 + 0.08)^0,5 = 1200000×1.0392 = 1247040 руб.

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Пример 8.   Кооператор должен выплатить поставщику сырья  через полгода после поставки 800000 руб., ещё через полгода 1 500000 руб. и ещё через 8 месяцев — 1300000 руб. Эти  платежи решено объединить в один и выплатить весь долг год после поставки. Какую сумму надо выплатить, если на долг начисляется 6% годовых (сложных)? Решение. Приводя все платежи к настоящему моменту ни, получаем по формуле (3.2) S0 = (1 + 0.06)1[0.8(1 + 0,06)^-0.5 + 1.5(1 + 0.06)^-1 + +1.3(1+0.06)^-1(6)]; So = 3574118.97 руб.

Пример 9.   Кооператор из предыдущего примера хочет вы­ть долг одним платежом, равным 3 600 000 руб. В какой момент  должен сделать такой платёж? Решение. По формуле (3.3) находим значение t0:

. =1.1238 года=1 год 45 дней Итак, единый платёж величиной 3600000 руб. надо сделать через 1 год 45 дней после поставки сырья. 

Пример 10.   Согласно контракту господин А обязан упла- тсподину Б сумму 1000 руб. сегодня и 1306 руб. через 3. Господин А хочет изменить контракт, вернув долг я равными платежами, сделав первый через год и второй через 4 года, считая от сегодняшнего дня.   Какой величины ген быть каждый из этих платежей, если деньги приносят кредитору проценты по ставке j2=6%?

Решение. Изобразим условия задачи на оси времени, помещая над осью платежи по первоначальному контракту, а под осью — по новому контракту. Буквой х обозначена искомая величина платежей.

1 000                                                1 306

Так как оба контракта должны быть равноценны для кредитора Б, то приведённые к моменту 0 (как и к любому дру­гому моменту) ценности сумм, стоящих над осью, и сумм, стоящих под осью, должны быть равны, т. е. находим значение х из уравнения 1000 + 1306(1 +i)^-6 = x(l + i)^-2 + x(l + i)^-8, где i= 0.06/2 = 0.03. x(1.03^-2 + 1.03^-8) = 1000 + 1306×1.03^-6; x = 1208.87. Итак, господин А должен сделать два платежа по 1208.87 руб. Заметим, что тот же результат мы получим, взяв в качестве современного момента любой другой. Например, если принять момент 4 за современный момент, то имеем уравнение:

1000(1 + i)⁴ + 1306(1 + i)^-2 = x(1 + i)² + х(1+ i)^-4    (3.4) Разделив все члены этого уравнения на (1 + i)⁴, получим то же уравнение, что и раньше. В практике финансовых операций распространена сделка которая называется продажей контракта. Она заключаете в следующем. Некоторый субъект (или организация) имеет на руках контракт, по которому он должен получить с другого субъекта определённые суммы денег в определённые сроки. Владелец контракта желает получить деньги и для этого продаёт этот контракт банку (или другому лицу) который получит деньги по этому контракту в будущем. Сколько следует заплатить за этот контракт? Очевидно, за контракт надо заплатить его стоимость в момент покупки, т. е.  его современную ценность.

Пример 11.   Господин Иванов купил у господина Петрова  некоторую вещь, заключив контракт, в соответствии с кото­рым обязуется заплатить 1000 руб. через 27 месяцев и ещё3 000 руб.. — через 5 лет. Господин Петров, нуждаясь в деньгах хочет продать этот контракт финансовой организации, которая согласна его купить при условии начисления на свои деньги процентов по ставке j4= 8%. Сколько должна запла­тить компания господину Петрову за этот контракт? Решение. Изобразим условия контракта на оси времени, на которой каждый процентный период соответствует кварталу ( 3 месяца). 27 месяцах содержится 9 процентных периодов, а в 5 годах -  20 процентных периодов. 1000              3000  

Организация должна заплатить за этот контракт его сто­имость в момент 0; эта стоимость обозначена буквой х. Очевидно, что

 х = 1000(1 + i)^-9 + 3000(1 + i)^-20, i= 0.08/4 = 0.02; х = 1000  1.02^-9 + 3 000× 1.02^-20 = = 1000 ×0.8368 + 3 000 ×0.6730 = 2855.8 руб.           В общем виде уравнение эквивалентности можно записать ющим образом:

где R1,…..Rl    - платежи по старому контакту; t1,……tl        -   сроки, в которые должны быть произведены эти платежи; S1,……Sm – платежи по новому контакту; p1,………..Pm    -  сроки, в которые должны быть произведены эти платежи; V=(1+i)^-1,      если соответсвующие платежи производятся ранее момента, к которому приводятся платежи.

V=(1+i)^-1,    если соответсвующие платежи производятся после момента, к которому приводятся платежи; i                   -  ставка процентов, начисляемых на деньги, находящиеся в обороте.