6. Современная ценность финансовой ренты

6 .1. Определение современной ценности финансовой ренты. Функция an,I

В пунктах 1.8 и 3.1 рассматривался вопрос о современной стоимости денежного потока. Такая же задача может быть по-ставлена относительно финансовой ренты. Например, желая создать фонд для ежемесячной выплаты стипендий, основатель фонда должен знать, какую сумму необходимо вложить в этот фонд. Эта сумма равна современной ценности финансовой ренты, которую составляют выплаты стипендий. Рассмотрим ренту, состоящую из п равных платежей, каждый из которых равен Rи делается в конце каждого периода начисления процентов. Если за каждый период начисляются проценты по ставке i, то наращенная сумма этой финансовой ренты, согласно формуле (5.2), равна S = Rsn;iCoвременная ценность ренты равна современной ценности её начисленной суммы, следовательно, современная ценность ренты, согласно формуле (3.3), равна A = S(1+i)^-n   = Rs n; i  (1+i)^-n = R ((1+i)^-n -1)\ i *(1+i)^-n= = a n; i  =(1-(1+i)-n  \ i) Тогда современная ценность ренты, состоящей из п периодических платежей по Rруб. каждый, на которые начисляются сложные проценты по ставке i за каждый период, выразится формулой

A = R a n; i

(6.2)

  Функция an;j затабулирована для различных значений n и r. Таблица её значений приведена в Приложении Б (Таблица 3). Формулу (6.2) можно вывести, не используя формулу (5.2), следующим образом. Изобразим ренту, состоящую из п платежей, на оси време­ни:

                       

По формуле (3.3) ценность первого платежа в момент равна R(1 + i)-1; ценность второго платежа в момент 0 равн R(1+i)-2; ценность n-го, последнего платежа в момент 0 равн R(1+i)-n. Суммарная ценность всех платежей в момент 0, т. е. современная ценность ренты равна A = R(1+i)^-1 +R(1+i)^-2  + ….+R(1+i)^-n Применяя формулу суммы первых п членов геометрическ прогрессии с первым членом b1 = R(1+i)^-1 и знаменателе q= (1 + i), получим: A = (b1×(q ⁿ-1)/(q-1) = R×(1+i)^-1×((1+i)^-n -1)/((1+i)^-1-1)= = R×(1+i)^-1×((1+i)^-n -1) / (1-(1+i) /1+i) = = R×(1-(1+i)^-n /i = R ×a n; i  

То есть мы получили формулу (6.2).

6.2. Получение ренты в будущем

К той же формуле (6.2) приводит и следующая задача: кaкую сумму надо вложить в настоящее время под i%, что-бы иметь возможность получать в конце каждого из периодов начисления процентов сумму R? Графическое изображение ситуации задачи такое же, как и в предыдущем пункте. Чтобы получить в момент 1 сумму R, необходимо вложить и момент 0 сумму R(1+i)^-1; чтобы получить в момент 2 сумму R, необходимо вложить в момент 0 сумму R(1+i)^-2 и т.д.; чтобы получить в момент п сумму R, необходимо вложить и момент 0 сумму R(1 + i)^-n. Эти выражения совпадают с полученными в конце п. 6.1. Суммируя их, как и там, получим формулу (6.2), выражающую теперь сумму, которую надо пложить в момент 0, чтобы получить впоследствии указанные п платежей по Rруб. каждый.

	Пример 1. Господин Иванов желает положить в банк, ко-торый выплачивает 10% годовых (сложных), такую сумму, чтобы его сын, студент первого курса, мог снимать с этого счёта ежегодно по 10000 руб., исчерпав весь вклад к концу пятилетнего срока учёбы (деньги снимаются в конце каждого года). Какую сумму должен положить в банк г-н Иванов? Решение. Искомая сумма равна ценности в момент 0 ренты, состоящей из пяти платежей по 10000 руб. каждый при i = 10% = 0.1. По формуле (6.2) имеем A = R× a n; i По Таблице 3 находим: а5;10% = 3.790786769, следовательно, А = 10 000 х 3.790786769 = 37 907.87 руб.