6.3. Современная ценность различных рент

Рассмотрим современную ценность финансовых рент раз-личного вида: с начислением процентов в конце года, m раз в год, с непрерывным начислением процентов, вечной ренты. А. Ренты с начислением процентов в конце года А1. Годовая рента Современная ценность этой ренты определяется по формуле (5.2), где n — число лет, i — годовая ставка сложных процентов. А2. р-срочная рента Используя формулы (3.3) и (5.5), находим современную ценность А этой ренты A = S×(1+i)^-n = R× s(p) n; i (1+i)-n =R×((1+i)^n-1)/(p×((1+i)^1/p-1) × (1+i)^-n = =R×(1-(1+i)^-n )/(p×((1+i)^1/p-1)) Введём обозначение a (p) n; i  = (1-(1+i)^-n )\ p((1+i)^1\p-1) тогда A = R ×a (p) n; i                               Коэффициент a (p) n; i  можно представить в виде произведении a (p) n; i  = (1-(1+i)^-n / i× i/ p((1+i)^1/p-1) a (p) n; i  = a n; i  ×K p; i 

A3. Рента с периодом больше года Используя формулу (2.3) и выражение для наращенной суммы S, полученное при выводе формулы (4.7), найдём значение современной ценности А этой ренты A= S×(1+i)-n   = R r ×(((1+i)n -1)/  ((1+i)r -1) ) ×((1+i)-n = =R r×(1-(1+i)-n )/ ((1+i)r -1) Разделив числитель и знаменатель последней дроби на i, получим A = R r(((1-(1+i)^-n )/i )/ (((1+i)^r -1) / i = R r×( a n; i / s r; i ) Итак, современная ценность этой ренты равна

A = R r ×(a n; i  / s r; i)

(6.5)

 

Для вычисления современной ценности ренты по форму-муле (5.5) можно использовать Таблицы 2 и 3.

Ренты с начислением процентов т раз в год

111. Годовая рента Используя формулу (3.4) и выражение для наращенной суммы S, полученное при выводе формулы (4.8), находим значение современной ценности А этой ренты A = S×(1+j m/m) ^–nm = R×((1+j m/m) ^nm-1) /(1+j m/m) ^m-1)  × (1+j m/m) ^-nm= =R×(1-(1+j m/m) ^-nm)/ ((1+j m/m) ^m-1)

где Kp;i — коэффициент, определяемый формулой (5.6). Следовательно, значения множителя a (p) n; i  можно вычислять используя таблицу значений .(Таблица 3) и таблицу значений Kp;i (Таблица 4).

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на jm/m, получим A = R ×(( 1- (1+j m/m) -nm)/ (j m/m)) / ((1+j m/m) m-1) /(j m/m) = = R ×(a mn ; jm\m / s m ; jm\m)

Итак, современная ценность рассматриваемой ренты может быть вычислена по формуле

A = R ×(a mn ; jm/m / s m ; jm/m)

(6.6)

 

Б2. р-срочная рента

Применяем формулу (3.4)  к наращенной сумме S, полученной при выводе формулы (5.9), A= S× (1+j m/m) ^–nm = (R/p)×((1+j m/m) ^nm-1) /((1+j m/m) ^m/p-1) ×(1+j m/m) ^-nm = = (R/p)×(( 1- (1+j m/m) ^-nm) / ((1+j m/m) ^m/p-1)

Разделив числитель и знаменатель на jm/m, получим: A= (R/p)× ( 1- (1+j m/m) ^-nm)/(j m/m)  / ((1+j m/m) ^m/p-1) = (R/p)×  ( a mn ; jm/m / s m/p ; jm/m)

Итак, современная ценность ренты в данном случае равна

A = (R/p)×(a mn ; jm/m / s m/p ; jm/m)

(6.7)

                                 БЗ. Частный случай р-срочной ренты при р = т

В п. 4.4 было показано, что s1;jm/m = 1, поэтому формула (6.7) принимает вид

A = R×( a mn ; jm/m/ m)

(6.8)