Ренты с начислением процентов m раз в год (по ставке jm)

Годовая рента В этом случае платёж Rделается один раз в конце каждого года, а проценты начисляются тп раз в год по ставке jm, т.е. по jm/m%. Изобразим эту ренту на оси времени:

Найдём наращенную к моменту n сумму этой ренты. Последний платёж входит в наращенную сумму без изме-нения. Предпоследний платёж делается за 1 год до момента п и на него начисляются сложные проценты т раз по ставке jm , т.е. наращенная на этот платёж сумма в момент п равна R(1 + jm/m)^m Третий от конца платёж делается за 2 года до момента п и наращенная на этот платёж сумма в момент n равна R(1 + jm/m)^2m Первый платёж делается за n-1 год до момента n, следовательно, в момент n наращенная на него cумма равна R(1 + jm/m)^(n-1)mкаждый раз мы применяли формулу (3.2)). Вся наращенная сумма равна S= R+R×(1+jm/m)^m+R×(1+jm/m)^2m+….+R×(1+jm/m)^(n-1)m Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b1   =   R,  знаменателем q   = (1 + jm/m)^mи числом членов к = п. Эта сумма равна:

S= (b1( q n -1)/( q-1))= (R×((((1+jm/m)^m)^n-1))/((1+jm/m)^m-1)= =R×(((1+jm/m)^mn-1)/((1+jm/m)^m-1))

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на jm/m

и применив формулу (5.1), получим

(5.8)

                                          

Для вычисления наращенной суммы по формуле (5.8) можно использовать Таблицу 2. Б2.  р-срочная рента В этом случае ежегодно выплачивается член ренты R, но платежи производятся р раз в году через равные промежутки времени, а каждый платёж равен R/p. Проценты начисляют­ся т раз в году по ставке jm, т. е. по jm/m%- На оси времени эту ренту можно изобразить так же, как в случае А2.

Найдём наращенную в момент n сумму этой ренты. На последний платёж проценты не начисляются, и он вхо­дит в наращенную сумму без изменения, т. е. в размере R/p. На предпоследний платёж начисляются проценты по ставке jmза период, равный 1/р части года, и наращенная к моменту n на этот платёж сумма по формуле (3.2) равна (R/p)(l+jm/m)^m(1/p). На второй с конца платёж начисляются проценты по ставке jmза период, равный 2/р части года, и наращенная к моменту п на этот платёж сумма равна по формуле (3.2) (R/р)(1 + jm/m)^m(2/p)Первый платёж делается за (п -1)/p - лет до момента п, т. е. наращенная в момент п на этот платёж сумма, согласно формуле (3.2), равна следующей ве-личине: (R/p)(1 + jm/m)^m(n-(1/p)). Вся наращенная на ренту сумма равна S= R/p + (R/p)×(1+jm/m)^m/p + (R/p)×(1+jm/m)^2m/p+….+ (R/p)× ×(1+jm/m)^m(n-1/p) Cлагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b1 = R/p, знаменателем q= (1 + jm/m)^m/pи числом членов к = пр. Эта сумма равна

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на jm/m, получим

Заметим, что функция sn;iбыла определена формулой (5.1) для целых значений п (п — число членов ренты). При приме-нении формулы (5.9) значения п/р могут быть нецелыми, т. е. функция sn;iв этих случаях вычисляется по формуле (5.1) при нецелых значениях аргумента п. Это упрощает запись формулы (5.9) и облегчает её запоминание. Для вычисления наращенной суммы по формуле (5.9) можно использовать Таблицу 2.

Б3. Частный случай р-срочной ренты при р=m

Формула (5.9) при этом имеет вид:

 

S=(R/m)×((smn;(jm)/m)/(s1;(jm)/p)), где s1;(jm)/m=((1+jm/m)1-1)/(jm/m)=1, тогда

(5.9)

 

S= (R/m)×smn;(jm)/m

(5.10)