2.3. Метод сокращенных таблиц

Метод полных таблиц истинности достаточно громоздкий (например, при четырех различных пропозициональных буквах, входящих в сложное высказывание, в таблице будет 16 строк, при пяти – 32 и т.д.), механичность расчетной работы также достаточно утомительна. Все это заставляет искать упрощения этого метода и повышения его эффективности.

В большинстве случаев нам необходимо дать ответ только на один вопрос – является данное высказывание общезначимым или нет. В этих целях предлагается метод сокращенных таблиц.

В качестве начального выступает положение, что искомое высказывание не является общезначимым. Исходя из такого положения, на основании таблиц истинности определяют значения истинности пропозициональных букв (простых высказываний). Если обнаруживают, что одна и та же буква получает в результате противоположные значения истинности, это будет означать, что исходное предположение неверно и, следовательно, искомое высказывание оказывается общезначимым.

Возьмем сложный пример и разберем ход рассуждений по шагам:

Предположим, что высказывание не является общезначимым, что обозначается символом “0” под главным знаком высказывания:

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
					0

Такое высказывание представляет собой импликацию, а импликация ложна только в одном случае – когда антецедент – истинный, а консеквент – ложный, то есть :

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
			1		0		0

В данном случае рассмотрение антецедента затруднено, т.к. это также импликация со значением “1” (что может быть в трех случаях), поэтому мы обратимся к консеквенту. Повторяем рассуждение второго шага:

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
			1		0	1	0		0

Аналогично рассмотрим подформулу (В  С) консеквента:

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
			1		0	1	0	1	0	0

Итак, мы уже определили значения истинности А,В и С (А – истинно, В – истинно и С - ложно).

Подставим одно из полученных значений (пусть С), продолжая рассмотрение антецедента исходного высказывания:

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
			1	0	0	1	0	1	0	0

Поскольку (А & В)  С есть истинная импликация, а С в ней – ложно, то А & В не может быть истинным, то есть:

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
	0		1	0	0	1	0	1	0	0

Подставим значение А, известное из ее второго вхождения в исходную формулу, в ее первое вхождение:

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
1	0		1	0	0	1	0	1	0	0

И рассмотрим подформулу (А & В). Известно, что она ложна, а А – истинно. По таблице истинности легко определить, что В в данном случае должно быть ложно:

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
1	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0

В результате мы получили: В принимает значение как “истинно”, так и “ложно”, что противоречит определению. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно и данное высказывание является общезначимым.

Описание процедуры занимает больше места, чем ее реальное осуществление. Объединим описание и получим:

((А	&	В)		C)		(А		(В		С))
					0
			1				0
						1			0
				0				1		0
	0
1		0

Следует сказать, что общезначимые высказывания играют в логике высказываний особую роль, так как представляют собой законы логики высказываний.