4. Регрессионные модели

с автокоррелированными остатками

Пример 7. Госпожа Арешникова В.В., руководитель компании «Преслава», собрала данные о месячных объемах продаж своей компании (, тыс. руб.) вместе с несколькими другими показателями, как она полагала, способными оказывать влияние на объем продаж. В качестве этих показателей ею были выбраны расходы на рекламу (, тыс. руб.) и индекс потребительских расходов (, %). Собранные госпожой Арешниковой В.В. данные представлены в табл. 33. Требуется оценить степень взаимосвязи между этими показателями, построив соответствующее линейное уравнение регрессии. Для построенного уравнения следует проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках. В случае подтверждения этой гипотезы необходимо оценить параметры регрессии обобщенным МНК и получить прогнозную оценку объема продаж на следующий месяц при условии того, что расходы на рекламу составят 7,9 тыс. руб., а индекс потребительских расходов возрастет до 114,9 %.

Т а б л и ц а 33

1	252	4,0	97,9	10	734	14,6	109,2
2	274	5,8	98,4	11	642	10,2	110,1
3	296	4,6	101,2	12	614	8,5	110,7
4	382	6,7	103,5	13	662	6,2	110,3
5	548	8,7	104,1	14	690	8,4	111,8
6	740	8,2	107,0	15	728	8,1	112,3
7	764	9,7	107,4	16	768	6,9	112,9
8	790	12,7	108,5	17	791	7,5	113,1
9	734	13,5	108,3	18	832	7,7	113,4

Решение с помощью Excel

1. Ввод исходных данных с включением в модель дополнительной переменной , принимающей единственное значение, равное 1.

2. Нахождение вектора оценок коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel (МУМНОЖ, ТРАНСП, МОБР)

.

3. Расчет остатков .

4. Вычисление разностей и оформление промежуточных результатов в виде табл. 34.

Т а б л и ц а 34

1	252	1	4	97,9	234,74	17,26
2	274	1	5,8	98,4	286,43	-12,43
3	296	1	4,6	101,2	346,93	-50,93
4	382	1	6,7	103,5	459,27	-77,27
5	548	1	8,7	104,1	518,06	29,94
6	740	1	8,2	107	595,80	144,20
7	764	1	9,7	107,4	638,37	125,63
8	790	1	12,7	108,5	732,62	57,38
9	734	1	13,5	108,3	742,80	-8,80
10	734	1	14,6	109,2	792,40	-58,40
11	642	1	10,2	110,1	730,35	-88,35
12	614	1	8,5	110,7	714,02	-100,02
13	662	1	6,2	110,3	655,21	6,79
14	690	1	8,4	111,8	745,33	-55,33
15	728	1	8,1	112,3	754,39	-26,39
16	768	1	6,9	112,9	748,21	19,79
17	791	1	7,5	113,1	766,46	24,54
18	832	1	7,7	113,4	779,61	52,39

4. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках

5.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием критерия Дарбина – Уотсона.

1. Вычисление и . Оформление результатов расчетов в виде табл. 35.

Т а б л и ц а 35

1	298,00		10	3411,10	2460,98
2	154,61	881,91	11	7806,06	896,84
3	2593,94	1481,98	12	10004,50	136,20
4	5970,72	693,78	13	46,17	11409,94
5	896,49	11494,40	14	3061,38	3859,45
6	20794,50	13055,69	15	696,56	837,36
7	15782,21	345,06	16	391,48	2132,44
8	3292,91	4657,16	17	602,38	22,63
9	77,38	4379,83	18	2744,81	775,49
			Сумма	78625,21	59521,14

5.1.2. Расчет статистики Дарбина – Уотсона

=59521,14 / 78625,21= 0,757.

Так как , т.е. , то существует положительная автокорреляция остатков.

2. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием метода рядов.

Последовательное определение знаков отклонений позволяет получить следующие ряды:

(+) (– – –) (+ + + +) (– – – –) (+) (– –) ( + + +)

и сделать вывод о присутствии автокорреляции в остатках.

3. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием графического представления зависимости остатков от времени (рис. 13).

Р и с. 13. График зависимости остатков от времени

Анализ построенного графика показывает, что изменение остатков подчиняется некоторой закономерности и можно сделать вывод о том, что они автокоррелированы.

Наличие автокорреляции означает, что , т.е. не выполняются предположения классического регрессионного анализа, и, следовательно, можно найти более эффективную оценку, чем .

6. Преобразование исходных данных.

6.1. Оценка параметра .

6.1.1. Вычисление и оформление результатов расчетов в виде табл. 36.

Т а б л и ц а 36

1	17,26	298,00		10	-58,40	3411,10	513,75
2	-12,43	154,61	-214,65	11	-88,35	7806,06	5160,16
3	-50,93	2593,94	633,29	12	-100,02	10004,50	8837,18
4	-77,27	5970,72	3935,44	13	6,79	46,17	-679,63
5	29,94	896,49	-2313,59	14	-55,33	3061,38	-375,95
6	144,20	20794,50	4317,65	15	-26,39	696,56	1460,29
7	125,63	15782,21	18115,83	16	19,79	391,48	-522,20
8	57,38	3292,91	7208,98	17	24,54	602,38	485,61
9	-8,80	77,38	-504,77	18	52,39	2744,81	1285,85
				Сумма		78625,21	47343,24

6.1.2. Вычисление коэффициента автокорреляции

= 47343,24 / 78625,21 = 0,6021.

6.2. Преобразование исходных данных и оформление результатов расчетов в виде табл. 37.

Т а б л и ц а 37

1	201,19	0,80	3,19	78,16	10	292,03	0,40	6,47	43,99
2	122,26	0,40	3,39	39,45	11	200,03	0,40	1,41	44,35
3	131,01	0,40	1,11	41,95	12	227,43	0,40	2,36	44,40
4	203,77	0,40	3,93	42,56	13	292,29	0,40	1,08	43,64
5	317,98	0,40	4,67	41,78	14	291,38	0,40	4,67	45,38
6	410,03	0,40	2,96	44,32	15	312,52	0,40	3,04	44,98
7	318,42	0,40	4,76	42,97	16	329,64	0,40	2,02	45,28
8	329,97	0,40	6,86	43,83	17	328,56	0,40	3,35	45,12
9	258,31	0,40	5,85	42,97	18	355,71	0,40	3,18	45,30

7. Оценка с помощью обычного МНК вектора коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel (ТРАНСП, МОБР, МУМНОЖ)

.

8. Нахождение прогнозной оценки объема продаж на следующий период

при и с учетом того, что коррелированно с предыдущим значением в выборочном периоде

815,79+0,60 (832 – 796,96) = 836,89.

Задание 7. Аналитику Воронежского филиала энергетической компании было поручено разработать новые тарифы на электроэнергию, для чего ему потребовалось составить прогноз расходов населения на электроэнергию на следующий период. С этой целью он решил исследовать две потенциально независимые переменные: цена на электроэнергию для физических лиц (коп. за кВт/ч, ) и потребление электроэнергии населением (кВт/ч, ). Ему удалось собрать данные по этим показателям за 20 периодов (см. табл. 38).

Т а б л и ц а 38

1	28,95	1,33	7803	11	113,60	2,74	10863
2	41,70	1,58	8109	12	127,80	2,65	11679
3	51,30	1,92	8874	13	136,95	3,15	11679
4	70,05	1,96	9333	14	142,20	3,25	12087
5	66,75	1,98	9139	15	152,25	3,25	12648
6	81,45	2,05	10047	16	154,05	3,85	13005
7	77,40	2,16	9730	17	153,23	3,97	13056
8	97,80	2,34	10302	18	181,60	3,97	14433
9	107,70	2,56	10557	19	186,30	4,13	14535
10	111,90	2,62	10812	20	195,40	4,35	14851

Когда аналитик делал доклад на комиссии по тарифам, ему бы задан вопрос: «Так как данные представляют временной ряд, то не будут ли Ваши расчеты искажены автокоррелированностью остатков?». Ответьте на этот вопрос и рассчитайте прогнозную оценку расходов населения на электроэнергию на следующий период при условии того, что цена на электроэнергию составит 4,34 коп. за кВТ/ч, а потребление электроэнергии – 14905кВт.