8. Прогнозирование сезонных колебаний

Пример 15. Требуется построить для прогнозирования пассажироотока Юго-Восточной железной дороги. Условные данные для расчетов приведены в табл. 59. Заметим, что график (см. рис. 42) свидетельствует о наличии слабо возрастающего тренда и аддитивной сезонной компоненты.

Т а б л и ц а 59

Пассажиропоток ЮВЖД (чел.)

Период	Г о д
	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Январь – февраль	118363	122049	126529	128272	131480	136909
Март – апрель	115252	116598	121791	124573	125748	128102
Май – июнь	121249	124143	129425	131106	133111	138442
Июль – август	275734	296856	312872	316305	325569	327960
Сентябрь – октябрь	139318	142722	147024	148027	152346	158774
Ноябрь – декабрь	81000	83616	85101	88091	89189	96906

Рис. 42. Динамика пассажиропотока

Решение в Excel

1. Ввод исходных данных и оформление их в виде таблицы, удобной для расчета оценок сезонной компоненты.

2. Расчет оценок сезонной компоненты для аддитивной модели.

2.1. Расчет скользящих средних.

2.2. Вычисление сезонной компоненты в виде разницы фактических значений и скользящих средних.

2.3. Оформление результатов расчетов в виде табл. 60.

Т а б л и ц а 60

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Год	Период	Фактические данные	Скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5
2000	Январь – февраль	118363	–	–
	Март – апрель	115252	–	–
	Май – июнь	121249	–	–

Окончание табл. 60

1	2	3	4	5
2000	Июль – август	275734	141819,3	133914,7
	Сентябрь – октябрь	139318	142433,7	-3115,7
	Ноябрь – декабрь	81000	142658,0	-61658,0
2001	Январь – февраль	122049	143140,3	-21091,3
	Март – апрель	116598	146660,7	-30062,7
	Май – июнь	124143	147228,0	-23085,0
	Июль – август	296856	147664,0	149192,0
	Сентябрь – октябрь	142722	148410,7	-5688,7
	Ноябрь – декабрь	83616	149276,2	-65660,2
2002	Январь – февраль	126529	150156,5	-23627,5
	Март – апрель	121791	152825,8	-31034,8
	Май – июнь	129425	153542,8	-24117,8
	Июль – август	312872	153790,3	159081,7
	Сентябрь – октябрь	147024	154080,8	-7056,8
	Ноябрь – декабрь	85101	154544,5	-69443,5
2003	Январь – февраль	128272	154824,7	-26552,7
	Март – апрель	124573	155396,8	-30823,8
	Май – июнь	131106	155564,0	-24458,0
	Июль – август	316305	156062,3	160242,7
	Сентябрь – октябрь	148027	156597,0	-8570,0
	Ноябрь – декабрь	88091	156792,8	-68701,8
2004	Январь – февраль	131480	157127,0	-25647,0
	Март – апрель	125748	158671,0	-32923,0
	Май – июнь	133111	159390,8	-26279,8
	Июль – август	325569	159573,8	165995,2
	Сентябрь – октябрь	152346	160478,7	-8132,7
	Ноябрь – декабрь	89189	160871,0	-71682,0
2005	Январь – февраль	136909	161759,5	-24850,5
	Март – апрель	128102	162158,0	-34056,0
	Май – июнь	138442	163229,3	-24787,3
	Июль – август	327960	164515,5	163444,5
	Сентябрь – октябрь	158774	–	–
	Ноябрь – декабрь	96906	–	–

3. Расчет средних значений сезонной компоненты аддитивной модели.

3.1. Формирование из оценок сезонной компоненты, полученных в предыдущем пункте, табл. 61, удобной для расчета средних значений этой же компоненты.

3.2. Расчет итоговых значений сезонной компоненты.

3.3. Определение средних значений итоговой компоненты.

3.4. Определение корректирующего коэффициента

.

3.5. Расчет скорректированных значений сезонной компоненты путем вычитания корректирующего коэффициента из средних оценок сезонной компоненты (сумма скорректированных значений равна нулю).

Т а б л и ц а 61

Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатель	Год	Номер периода
		1	2	3	4	5	6
	2000	–	–	–	133914,7	-3115,7	-61658,0
	2001	-21091,3	-30062,7	-23085,0	149192,0	-5688,7	-65660,2
	2002	-23627,5	-31034,8	-24117,8	159081,7	-7056,8	-69443,5
	2003	-26552,7	-30823,8	-24458,0	160242,7	-8570,0	-68701,8
	2004	-25647,0	-32923,0	-26279,8	165995,2	-8132,67	-71682,0
	2005	-24850,5	-34056,0	-24787,3	163444,5	–	–
Итого за период (за все годы)		-121769,0	-158900	-122728,0	931870,7	-32563,8	-337146
Средняя оценка сезонной компоненты		-24353,8	-31780,1	-24545,6	155311,8	-6512,7	-67429,1
Скорректированная сезонная компонента		-24468,9	-31895,1	-24660,7	155196,7	-6627,8	-67544,2

4. Вычисление основных составляющих сезонной модели.

4.1. Элиминирование влияния сезонной компоненты путем вычитания ее значения из каждого уровня исходного временного ряда.

4.2. Построение по данным элиминированного временного ряда трендовой модели с помощью МНК (см. Вывод итогов 15).

ВЫВОД ИТОГОВ 15
Регрессионная статистика
Множественный R	0,823671
R-квадрат	0,678433
Нормированный R-квадрат	0,668976
Стандартная ошибка	5265,595
Наблюдения	36
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1,99E+09	1,99E+09	71,73237	6,84E-10
Остаток	34	9,43E+08	27726487
Итого	35	2,93E+09
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статис-тика	P-Зна-чение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	140667,5	1792,415	78,4793	5,09E-40	137024,9	144310,1
Переменная X 1	715,4998	84,47961	8,469497	6,84E-10	543,8167	887,1829

4.3. Получение расчетных значений по трендовой модели

.

4.4. Расчет значений уровня ряда по аддитивной модели.

4.5. Оформление результатов расчетов в виде табл. 62.

Т а б л и ц а 62

Расчетные значения аддитивной тренд-сезонной модели

	Пассажиро- поток,	Сезонная компонента,	Десезонали-зированный пассажиропоток,	Расчетные значения (линейный тренд)	Расчетные значения пассажиропотока
1	118363	-24468,9	142831,9	141383,0	116914,1
2	115252	-31895,1	147147,1	142098,5	110203,3
3	121249	-24660,7	145909,7	142814,0	118153,3
4	275734	155196,7	120537,3	143529,5	298726,2
5	139318	-6627,8	145945,8	144245,0	137617,1
6	81000	-67544,2	148544,2	144960,5	77416,3
7	122049	-24468,9	146517,9	145676,0	121207,1
8	116598	-31895,1	148493,1	146391,5	114496,3
9	124143	-24660,7	148803,7	147107,0	122446,3
10	296856	155196,7	141659,3	147822,5	303019,2
11	142722	-6627,8	149349,8	148538,0	141910,1
12	83616	-67544,2	151160,2	149253,5	81709,3
13	126529	-24468,9	150997,9	149969,0	125500,1
14	121791	-31895,1	153686,1	150684,5	118789,3
15	129425	-24660,7	154085,7	151400,0	126739,3
16	312872	155196,7	157675,3	152115,5	307312,2
17	147024	-6627,8	153651,8	152831,0	146203,1
18	85101	-67544,2	152645,2	153546,5	86002,3
19	128272	-24468,9	152740,9	154262,0	129793,1
20	124573	-31895,1	156468,1	154977,5	123082,3
21	131106	-24660,7	155766,7	155693,0	131032,3
22	316305	155196,7	161108,3	156408,5	311605,2
23	148027	-6627,8	154654,8	157124,0	150496,1
24	88091	-67544,2	155635,2	157839,5	90295,3
25	131480	-24468,9	155948,9	158555,0	134086,1
26	125748	-31895,1	157643,1	159270,5	127375,3
27	133111	-24660,7	157771,7	159986,0	135325,3
28	325569	155196,7	170372,3	160701,5	315898,2
29	152346	-6627,8	158973,8	161417,0	154789,1
30	89189	-67544,2	156733,2	162132,5	94588,3
31	136909	-24468,9	161377,9	162848,0	138379,1
32	128102	-31895,1	159997,1	163563,5	131668,3
33	138442	-24660,7	163102,7	164279,0	139618,3
34	327960	155196,7	172763,3	164994,5	320191,2
35	158774	-6627,8	165401,8	165710,0	159082,1
36	96906	-67544,2	164450,2	166425,5	98881,3

5. Оценка качества построенной модели.

5.1. Расчет суммы квадратов отклонений фактических значений пассажиропотока от среднего значения.

5.2. Расчет суммы квадратов отклонений расчетных от фактических значений пассажиропотока.

5.3. Оформление результатов расчетов в виде табл. 63.

Т а б л и ц а 63

Расчет квадратов отклонений

1	118363	1263178477,0	2099305,7
2	115252	1493994282,7	25489018,1
3	121249	1066363538,4	9583349,4
4	275734	14842494753,4	528640296,8
5	139318	212757878,7	2892943,9
6	81000	5315025617,8	12842899,7
7	122049	1014755182,8	708794,6
8	116598	1391754216,5	4417001,1
9	124143	885730348,2	2878790,3
10	296856	20435210769,8	37984760,0
11	142722	125042093,8	659127,9
12	83616	4940434183,2	3635506,6
13	126529	749402791,7	1058636,6
14	121791	1031259041,5	9010008,1
15	129425	599232320,6	7212990,4
16	312872	25270754371,6	30911637,8
17	147024	47337457,8	673824,6
18	85101	4733883388,2	812338,5
19	128272	657010816,0	2313739,3
20	124573	860320597,0	2222093,6
21	131106	519758936,5	5432,0
22	316305	26374012622,8	22088353,4
23	148027	34541741,0	6096605,5
24	88091	4331380219,3	4858925,1
25	131480	502845742,3	6791740,3
26	125748	792772849,8	2648202,5
27	133111	432358090,4	4903108,2
28	325569	29468795929,5	93524877,7
29	152346	2428056,5	5968880,4
30	89189	4188059987,3	29152393,9
31	136909	288837578,4	2161180,7
32	128102	665754671,6	12718699,6
33	138442	239080316,0	1383670,0
34	327960	30295413777,8	60354679,2
35	158774	23714735,6	94942,8
36	96906	3248797336,5	3901787,9
Сумма:		188344494718,2	942700542,1

5.4. Расчет величины по формуле

.

Таким образом, аддитивная модель объясняет 99 % общей вариации уровней временного ряда пассажиропотока за рассматриваемый промежуток времени.

6. Расчет прогнозных значений для каждого сезонного периода 2006 г. и оформление результатов в виде табл. 64.

Т а б л и ц а 64

Прогнозирование пассажиропотока, чел.

Год	Период	Прогнозные значения тренда	Сезонная компонента	Прогнозные значения пассажиропотока
2006	Январь – февраль	167141	-24469	142672
	Март – апрель	167856	-31895	135961
	Май – июнь	168572	-24661	143911
	Июль – август	169288	155196	324484
	Сентябрь – октябрь	170003	-6628	163375
	Ноябрь – декабрь	170718	-67544	103174

7. Построение графика (рис. 43), отражающего динамику пассажиропотока

Рис. 43. Прогнозная динамика пассажиропотока ЮВЖД

Сезонная декомпозиция в STATISTICA

11. Ввод исходных данных.

12. Вызов модуля «Прогноз/Серия времени» (Статистика / Дополнительные Линейные/Нелинейные модели / Прогноз/Серия времени).

13. Выбор переменных для анализа (Variables / Var1).

14. Переход в окно Seasonal Decomposition (Census 1)/Advance – Сезонная декомпозиция/ Дополнительно, см. рис. 44. Здесь необходимо сделать показанные на рисунке установки: Seasonal model – Additive (Сезонная модель – аддитивная); Seasonal lag (Сезонный лаг, т.е. длина сезонного периода) – 6; Number of backups per variable (Число дублирований каждой переменной) – 6.

Рис. 44. Окно Seasonal Decomposition (Census 1) – Сезонная декомпозиция

15. Выбор опции Summary: Seasonal decomposition (Результаты сезонной декомпозиции), появится таблица, представленная на рис. 48. В данной таблице содержатся: Var 1 – фактические данные; Moving Averages – скользящие средние; Diffrncs – разности; Seasonal Factors – сезонная составляющая; Adjusted Series – ряд, скорректированный на сезонную составляющую; Smoothed Trend-c. – сглаженная тренд-циклическая компонента (рассчитывается как взвешенная скользящая средняя (с весами ) ряда, скорректированного на сезонную составляющую); Irreg. Compon. – нерегулярная составляющая (получается как разность между значениями ряда, скорректированного на сезонную составляющую, и значениями сглаженной тренд-циклической компоненты).

Рис. 45. Окно Seasonal decomposition: Additive season

(Сезонная декомпозиция: Аддитивная модель)

Пример 16. Известно, что стоимость репетиторских услуг зависит от спроса на такие услуги, который распределен по периодам подготовки к вступительным экзаменам по математике. Условно можно выделить четыре периода: 1) август – октябрь (низкая стоимость); 2) ноябрь – декабрь (средняя стоимость); 3) январь – март (стоимость выше средней); апрель – июль (высокая стоимость). Усредненные значения стоимости репетиторских услуг в г. Воронеже за шесть лет с разбивкой по указанным периодам приведены в табл. 65. Абитуриенты решили построить модель сезонных колебаний для расчета ожидаемой стоимости репетиторских услуг в 2006 г. Построенный ими график на рис. 46 свидетельствует о наличии сезонных колебаний с лагом, равным четырем, с общей тенденцией роста стоимости репетиторских услуг и увеличением амплитуды колебаний. Поскольку амплитуда сезонных колебаний увеличивается, то целесообразно для данного ряда строить мультипликативную модель.

Т а б л и ц а 65

Стоимость репетиторских услуг по математике

Год	Период	Цена занятия, р.	Год	Период	Цена занятия, р.
2000	1	70	2003	1	180
	2	100		2	220
	3	130		3	300
	4	180		4	370
2001	1	110	2004	1	200
	2	160		2	260
	3	190		3	350
	4	250		4	430
2002	1	140	2005	1	220
	2	200		2	290
	3	260		3	410
	4	300		4	470

Рис. 46. Динамика стоимости репетиторских услуг

Решение в Excel

1. Ввод исходных данных и оформление их в виде таблицы, удобной для расчета оценок сезонной компоненты.

2. Расчет оценок сезонной компоненты для мультипликативной модели.

2.1. Расчет скользящих средних с периодом усреднения, равным четырем.

2.2. Вычисление сезонной компоненты в виде частного от деления фактических уровней временного ряда на значения центрированных скользящих средних.

2.3. Оформление результатов расчетов в виде табл. 66.

Т а б л и ц а 66

Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Год	Период	Фактические данные	Скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
2000	1	70	–	–
	2	100	–	–
	3	130	120,0	1,08
	4	180	130,0	1,38
2001	1	110	145,0	0,76
	2	160	160,0	1,00
	3	190	177,5	1,07
	4	250	185,0	1,35
2002	1	140	195,0	0,72
	2	200	212,5	0,94
	3	260	225,0	1,16
	4	300	235,0	1,28
2003	1	180	240,0	0,75
	2	220	250,0	0,88
	3	300	267,5	1,12
	4	370	272,5	1,36
2004	1	200	282,5	0,71
	2	260	295,0	0,88
	3	350	310,0	1,13
	4	430	315,0	1,37
2005	1	220	322,5	0,68
	2	290	337,5	0,86
	3	410	347,5	1,18
	4	470	–	–

3. Расчет средних значений сезонной компоненты мультипликативной модели.

3.1. Формирование из оценок сезонной компоненты, полученных в предыдущем пункте, табл. 67, удобной для расчета средних значений этой же компоненты.

3.2. Расчет итоговых значений сезонной компоненты.

3.3. Определение средних значений итоговой компоненты.

3.4. Определение корректирующего коэффициента

.

3.5. Расчет скорректированных значений сезонной компоненты путем умножения корректирующего коэффициента из средних оценок сезонной компоненты (сумма скорректированных значений равна четырем).

4. Вычисление основных составляющих сезонной модели.

4.1. Элиминирование влияния сезонной компоненты путем деления каждого уровня исходного временного ряда на соответствующие значения сезонной составляющей.

4.2. Построение по данным элиминированного временного ряда трендовой модели с помощью МНК (см. Вывод итогов 16).

Т а б л и ц а 67

Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатель	Год	Период
		1	2	3	4
	2000	–	–	1,08	1,38
	2001	0,76	1,00	1,07	1,35
	2002	0,72	0,94	1,16	1,28
	2003	0,75	0,88	1,12	1,36
	2004	0,71	0,88	1,13	1,37
	2005	0,68	0,86	1,18	–
Итого за период (за все годы)		3,62	4,56	6,74	6,74
Средняя оценка сезонной компоненты		0,72	0,91	1,12	1,35
Скорректированная сезонная компонента		0,70	0,89	1,09	1,31

ВЫВОД ИТОГОВ 16
Регрессионная статистика
Множественный R	0,990535
R-квадрат	0,98116
Нормированный R-квадрат	0,980303
Стандартная ошибка	11,23861
Наблюдения	24
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	144709,3	144709,3	1145,701	1,8E-20
Остаток	22	2778,74	126,3064
Итого	23	147488,1
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статис-тика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	97,792	4,735394	20,65129	6,81E-16	87,97139	107,6126
Переменная X 1	11,21758	0,331409	33,84821	1,8E-20	10,53028	11,90488

4.3. Получение расчетных значений по трендовой модели

.

4.4. Расчет значений уровня ряда по мультипликативной модели.

4.5. Оформление результатов расчетов в виде табл. 68.

Т а б л и ц а 68

Расчетные значения мультипликативной тренд-сезонной модели

	Цена занятия,	Сезонная компонента,	Десезонализи- рованная цена,	Расчетные значения (линейный тренд)	Расчетные значения цены
1	2	3	4	5	6
1	70	0,70	99,34	109,01	77

Окончание табл. 68

1	2	3	4	5	6
2	100	0,89	112,51	120,23	107
3	130	1,09	118,80	131,44	144
4	180	1,31	137,16	142,66	187
5	110	0,70	156,10	153,88	108
6	160	0,89	180,02	165,10	147
7	190	1,09	173,63	176,32	193
8	250	1,31	190,51	187,53	246
9	140	0,70	198,68	198,75	140
10	200	0,89	225,03	209,97	187
11	260	1,09	237,60	221,19	242
12	300	1,31	228,61	232,40	305
13	180	0,70	255,44	243,62	172
14	220	0,89	247,53	254,84	226
15	300	1,09	274,16	266,06	291
16	370	1,31	281,95	277,27	364
17	200	0,70	283,83	288,49	203
18	260	0,89	292,53	299,71	266
19	350	1,09	319,85	310,93	340
20	430	1,31	327,67	322,14	423
21	220	0,70	312,21	333,36	235
22	290	0,89	326,29	344,58	306
23	410	1,09	374,68	355,80	389
24	470	1,31	358,15	367,01	482

5. Оценка качества построенной модели.

5.1. Расчет суммы квадратов отклонений фактических значений цены занятия от среднего значения.

5.2. Расчет суммы квадратов отклонений расчетных от фактических значений цены занятия.

5.3. Оформление результатов расчетов в виде табл. 69.

Т а б л и ц а 69

Расчет квадратов отклонений

1	70	46,43	29326,56	14	220	42,22	451,56
2	100	47,01	19951,56	15	300	78,58	3451,56
3	130	191,42	12376,56	16	370	37,66	16576,56
4	180	52,05	3751,56	17	200	10,80	1701,56
5	110	2,46	17226,56	18	260	40,68	351,56
6	160	175,91	6601,56	19	350	95,34	11826,56
7	190	8,62	2626,56	20	430	52,62	35626,56
8	250	15,23	76,56	21	220	222,15	451,56
9	140	0,00	10251,56	22	290	264,33	2376,56
10	200	179,10	1701,56	23	410	427,01	28476,56
11	260	322,72	351,56	24	470	135,23	52326,56
12	300	24,80	3451,56			Суммы
13	180	69,41	3751,56			2541,79	265062,50

5.4. Расчет величины по формуле

.

Таким образом, мультипликативная модель объясняет 99 % общей вариации уровней временного ряда стоимости репетиторских услуг за рассматриваемый промежуток времени.

6. Расчет прогнозных значений для каждого сезонного периода 2006 г. и оформление результатов расчетов в виде табл. 70.

Т а б л и ц а 70

Прогнозирование стоимости репетиторских услуг

Год	Период	Прогнозные значения тренда	Сезонная компонента	Прогнозные значения цены
2006	Август-октябрь	378,23	0,70	267
	Ноябрь-декабрь	389,45	0,89	346
	Январь-март	400,67	1,09	438
	Апрель-июль	411,88	1,31	541

7. Построение графика (см. рис. 47) стоимости репетиторских услуг в г. Воронеже (фактических, рассчитанных по трендовой и мультипликативной моделям).

Рис. 47. Динамика фактической и расчетной цены занятия

7. Решение в STATISTICA аналогично решению примера 15. Только в окне Seasonal Decomposition (Census 1)/Advance – Сезонная декомпозиция/ Дополнительно необходимо сделать показанные на рис. 48 установки: Seasonal model –Multiplicative (Сезонная модель – мультипликативная); Seasonal lag (Сезонный лаг, т.е. длина сезонного периода) – 4; Number of backups per variable (Число дублирований каждой переменной) – 6.

Рис. 48. Окно Seasonal Decomposition (Census 1) – Сезонная декомпозиция

Пример 17. Аграрный комитет администрации Воронежской области, зная среднегодовой спрос на молоко населения области, заинтересован в получении прогнозных оценок производства этого продукта хозяйствами всех категорий на следующий год. Такая информация ему необходима для того, чтобы иметь представление о степени обеспеченности населения молочной продукцией, и в случае существенного превышения спроса над предложением молока ориентировать торговые организации на заключение договоров поставки молока с производителями из других регионов. Построение прогнозной модели требуется осуществить по данным табл. 71.

Т а б л и ц а 71

Производство молока в хозяйствах всех категорий Воронежской обл., т.

Год	1-й квартал	2-й квартал	3-й квартал	4-й квартал
1998	6112	11446	11110	5468
1999	6090	11249	10666	5250
2000	5846	10784	10347	5297
2001	5864	10652	10329	5432
2002	5944	10856	10487	5618
2003	6095	10922	10725	5763

Решение с помощью MS Excel

1. Ввод исходных данных и оформление их в удобном для проведения расчетов виде.

2. Формирование фиктивных переменных :

;

;

.

и оформление полученных результатов в виде табл. 72.

Т а б л и ц а 72

Данные для построения модели с фиктивными переменными

1	1	0	0	6112	13	1	0	0	5864
2	0	1	0	11446	14	0	1	0	10652
3	0	0	1	11110	15	0	0	1	10329
4	0	0	0	5468	16	0	0	0	5432
5	1	0	0	6090	17	1	0	0	5944
6	0	1	0	11249	18	0	1	0	10856
7	0	0	1	10666	19	0	0	1	10487
8	0	0	0	5250	20	0	0	0	5618
9	1	0	0	5846	21	1	0	0	6095
10	0	1	0	10784	22	0	1	0	10922
11	0	0	1	10347	23	0	0	1	10725
12	0	0	0	5297	24	0	0	0	5763

3. Оценка параметров модели

,

обычным МНК с помощью «Пакета анализа» (см. Вывод итогов 17).

Таким образом, построенная модель имеет вид

.

Коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существовании тесной взаимосвязи объема молока от соответствующих факторов.

Сравнение с табличным значением дисперсионного отношения Фишера позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.

Сравнение расчетных значений -статистик с табличным значением говорит о том, что включенные в модель факторы значимы, кроме фактора времени. Таким образом, тенденция уменьшения объема молока существует, но она статистически незначима на 5%-м уровне значимости. Поэтому необходимо перестроить модель, исключив из нее незначимый фактор.

ВЫВОД ИТОГОВ 17
Регрессионная статистика
Множественный R	0,996532
R-квадрат	0,993076
Нормированный R-квадрат	0,991618
Стандартная ошибка	238,7258
Наблюдения	24
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	1,55E+08	38823023	681,225	3,18E-20
Остаток	19	1082810	56990,02
Итого	23	1,56E+08
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статис-тика	P-Значе-ние	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	5576,383	139,5406	39,96243	8,46E-20	5284,321	5868,445
Переменная X 1	-7,50357	7,133298	-1,05191	0,306037	-22,4337	7,426598
Переменная X 2	497,9893	139,4798	3,570331	0,002042	206,0545	789,9241
Переменная X 3	5498,493	138,5648	39,68174	9,65E-20	5208,473	5788,512
Переменная X 4	5131,83	138,0129	37,1837	3,27E-19	4842,965	5420,694

4. Оценка параметров модели

обычным МНК с помощью «Пакета анализа» (см. Вывод итогов 18).

ВЫВОД ИТОГОВ 18
Регрессионная статистика
Множественный R		0,996329
R-квадрат		0,992672
Нормированный R-квадрат		0,991573
Стандартная ошибка		239,3606
Наблюдения		24
Дисперсионный анализ
		df	SS			MS	F		Значимость F
Регрессия		3	1,55E+08			51743010	903,1216		1,65E-21
Остаток		20	1145870			57293,52
Итого		23	1,56E+08
		Коэффи-циенты	Стандартная ошибка			t-статис-тика	P-Зна-чение		Нижние 95%		Верхние 95%
Y-пересечение		5471,33	97,71857			55,99072	1,85E-23		5267,496		5675,171
Переменная X 1		520,5	138,1949			3,766419	0,001214		232,2306		808,7694
Переменная X 2		5513,5	138,1949			39,89654	1,53E-20		5225,231		5801,769
Переменная X 3		5139,33	138,1949			37,18901	6,14E-20		4851,064		5427,603

Следовательно, построенная модель имеет вид

.

Анализ этой модели позволяет сделать вывод о ее пригодности для целей прогнозирования.

5. Получение с помощью построенной модели прогнозных оценок производства молока на 2004 год и оформление результатов в виде табл. 73.

Т а б л и ц а 73

Прогнозные оценки производства молока, т.

Год	Квартал
2004	1	1	0	0	5991,83
	2	0	1	0	10984,83
	3	0	0	1	10610,67
	4	0	0	0	5471,33

6. Построение графика, отражающего фактическую и прогнозную динамику производства молока (см. рис. 49).

Рис. 49. Прогнозная динамика производства молока

Замечание: Решение рассмотренной задачи в STATISTICA предполагает построение модели множественной регрессии.

Пример 18. Рассмотрим прогностические возможности адаптивной модели с линейным трендом и аддитивной сезонной компонентой на примере моделирования потребления мороженого (см. табл. 74, рис. 50).

Т а б л и ц а 74

Потребление мороженого в г. Воронеже (тыс. р)

С е з о н	Г о д
	2000	2001	2002	2003	2004
Зима	253,1	265,5	277,9	290,3	301,3
Весна	331,2	343,6	356,0	368,4	375,4
Лето	364,3	376,7	389,1	401,5	412,4
Осень	292,4	304,8	317,2	343,2	337,5

Рис. 50. Динамика потребления мороженого

Решение в Excel

1. Ввод исходных данных.

2. Деление множества наблюдений на три части: первые восемь наблюдений будем использовать для построения линейного тренда и выделения сезонной составляющей; следующие восемь наблюдений – для настройки параметров адаптации; оставшиеся четыре будут использованы в качестве контрольной выборки.

3. Построение (с использованием обычного МНК) по первым восьми наблюдениям трендовой модели , параметры которой принимаются за начальные значения и .

4. Вычисление расчетных значений

5. Определение отклонения тренда от фактических значений

6. Получение оценок сезонных составляющих как усредненных значений соответствующих отклонений

;

;

.

7. Выбор начальных значений параметров адаптации , , .

8. Осуществление адаптивной настройки параметров модели.

8.1. Расчет при заданных начальных значениях , на данных обучающей выборки (с 9-го по 12-е наблюдение) текущих значений коэффициентов тренда и сезонной составляющей

8.2. Проведение постпрогнозных расчетов для 13 – 16 наблюдений и вычисление относительных ошибок

8.3. Подбор параметров адаптации таким образом, чтобы максимальная относительная ошибка была минимальной. Минимальное значение максимальной относительной ошибки получено при , , .

8.4. Оформление результатов всех расчетов в виде табл. 75.

Таким образом, модель для прогнозирования потребления мороженого в окончательном виде может быть записана следующим образом:

,

где

9. Расчет прогнозных оценок и сравнение их с данными контрольной выборки

Результаты расчетов свидетельствует о том, что с помощью построенной модели удается осуществить достаточно точную экстраполяцию динамики потребления мороженого.

Т а б л и ц а 75

Результаты моделирования потребления мороженого

Данные для построения линейного тренда	1	253,1	295,60	-42,50
	2	331,2	301,56	29,64
	3	364,3	307,51	56,79
	4	292,4	313,47	-21,07
	5	265,5	319,43	-53,93	-48,21
	6	343,6	325,39	18,21	23,93
	7	376,7	331,34	45,36	51,07
	8	304,8	337,30	-32,50	-26,79
Данные для настройки параметров адаптации	9	277,9			-43,00	298,65	6,72
	10	356			28,49	308,04	7,39
	11	389,1			54,94	317,69	7,95
	12	317,2			-23,65	327,48	8,41
	13	290,3	292,8906	-0,89	-38,22	308,16	1,48
	14	368,4	372,7923	-1,19	33,67	312,67	2,24
	15	401,5	407,6451	-1,53	60,35	318,07	3,03
	16	343,2	337,4714	1,67	-15,83	325,68	4,17
Контрольная выборка	17	301,3	291,6268	3,21
	18	375,4	367,689	2,05
	19	412,4	398,5413	3,36
	20	337,5	326,538	3,25

Пример 19. Требуется построить адаптивную модель с линейным трендом и мультипликативной компонентой сезонности для прогнозирования прибыли компании «Восход». Условные данные для расчетов приведены в табл. 76. Динамика прибыли компании отражена на рис. 51.

Т а б л и ц а 76

Прибыль компании «Восход», тыс. долл. США

Год	Квартал	Прибыль	Год	Квартал	Прибыль
2000	1	30	2003	13	64
	2	43		14	90
	3	60		15	108
	4	52		16	72
2001	5	48	2004	17	71
	6	67		18	95
	7	82		19	117
	8	62		20	85
2002	9	58	2005	21	83
	10	80		22	106
	11	96		23	126
	12	70		24	97

По аналогии с предыдущими примерами разделим множество наблюдений на три части: первые восемь наблюдений будем использовать для построения линейного тренда и выделения сезонной составляющей; следующие двенадцать наблюдений – для настройки параметров адаптации; оставшиеся четыре будут использованы в качестве контрольной выборки.

Рис. 51. Динамика прибыли компании

Используя МНК, по первым восьми наблюдениям построим трендовую модель (см. Вывод итогов 19), параметры которой принимаются за начальные значения и .

ВЫВОД ИТОГОВ 19
Регрессионная статистика
Множественный R	0,799098
R-квадрат	0,638557
Нормированный R-квадрат	0,578317
Стандартная ошибка	10,3318
Наблюдения	8
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1131,524	1131,524	10,60015	0,01734
Остаток	6	640,4762	106,746
Итого	7	1772
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статис-тика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	32,14286	8,050471	3,992668	0,007179	12,44405	51,84167
Переменная X 1	5,190476	1,594231	3,255787	0,01734	1,289531	9,091422

Вычислим расчетные значения

Выделим сезонную составляющую путем деления фактических значений на расчетные значения по трендовой модели

и получим усредненные оценки сезонных составляющих

В качестве начальных значений параметров адаптации выберем , , .

Осуществим адаптивную настройку параметров модели. Для этого при заданных начальных значениях , проведем расчет на данных обучающей выборки (с 9-го по 16-е наблюдение) текущих значений коэффициентов тренда и сезонной составляющей

Проведем постпрогнозные расчеты для 17 – 20 наблюдений и вычислим относительные ошибки

Подберем параметры адаптации таким образом, чтобы максимальная относительная ошибка была минимальной. Минимальное значение максимальной относительной ошибки получено при , , . Все расчеты сведены в табл. 77.

Т а б л и ц а 77

Результаты моделирования прибыли компании

Данные для построения линейного тренда	1	30	37,33	0,80
	2	43	42,52	1,01
	3	60	47,71	1,26
	4	52	52,90	0,98
	5	48	58,10	0,83	0,81
	6	67	63,29	1,06	1,03
	7	82	68,48	1,20	1,23
	8	62	73,67	0,84	0,91
Данные для настройки параметров адаптации	9	58			0,88	69,48	9,05
	10	80			1,04	77,36	8,91
	11	96			1,23	78,61	7,99
	12	70			0,91	77,23	6,86
	13	64			0,88	72,97	5,53
	14	90			1,06	85,89	6,42
	15	108			1,23	88,14	5,92
	16	72			0,90	79,81	4,21
	17	71	73,96	-4,16	0,88	80,82	3,82
	18	95	93,20	1,90	1,06	89,66	4,43
	19	117	113,73	2,80	1,24	95,04	4,54
	20	85	87,37	-2,79	0,90	94,29	3,90
Контрольная выборка	21	83	86,50	-4,22
	22	106	108,71	-2,55
	23	126	130,98	-3,95
	24	97	99,30	-2,37

Таким образом, модель для прогнозирования динамики прибыли в окончательном виде может быть записана следующим образом:

,

где .

Осуществим расчет прогнозных оценок и сравним их с данными контрольной выборки

Результаты расчетов свидетельствует о том, что с помощью построенной модели удается осуществить достаточно точную экстраполяцию динамики прибыли компании «Восход».

Задание 16. Фирма «Наслаждение» вот уже пять лет довольно успешно занимается выпечкой тортов и пирожных, данные о среднесуточных продажах которых представлены в табл. 88. Эта таблица была сформирована с учетом специфики производимой продукции (на кондитерские изделия спрос естественным образом повышается в предпраздничные и праздничные дни), поэтому год был разбит на 8 условных периодов, характеризующихся своим среднесуточным объемом продаж. Очевидно, что периоды повышения спроса связаны не только с увеличением выручки, но и с ростом прямых и косвенных затрат, связанных с наймом дополнительной рабочей силы, увеличением продолжительности рабочего дня, закупкой в большем объеме необходимых для выпечки кондитерских изделий продуктов и т.д. В связи с этим руководство фирмы заинтересовано в том, чтобы заранее подготовиться к таким периодам, получив прогнозные оценки среднесуточных объемов продаж тортов и пирожных в предпраздничные и праздничные периоды. Рассчитайте требуемые прогнозные оценки.

Т а б л и ц а 78

Год	Среднесуточный объем продаж тортов и пирожных фирмой "Наслаждение", кг.
	9.01-19.02	19.02-24.02	25.02-3.03	4.03-9.03	10.03-29.04	30.04-3.05	4.05-20.12	21.12-8.01
1999	211	234	209	373	280	311	222	552
2000	244	256	236	402	293	324	237	578
2001	267	277	271	435	297	350	250	603
2002	286	295	296	468	302	384	264	616
2003	293	310	300	512	305	401	285	667

Задание 17. В табл. 79 представлены квартальные данные об объемах продаж продукции предприятий сахарной подотрасли Воронежской области за 2002 г. Получите прогнозные оценки объема продаж на 2005 г.

Т а б л и ц а 79

Год	Квартал	Объем продаж, тыс. руб.	Год	Квартал	Объем продаж, тыс. руб.
2001	I	257,10	2003	I	257,64
	II	171,40		II	171,76
	III	85,70		III	85,88
	IV	1199,80		IV	1202,32
2002	I	245,94	2004	I	354,63
	II	163,96		II	236,42
	III	81,98		III	118,21
	IV	1147,72		IV	1654,94

Задание 18. Динамика объема сбыта мороженого «Пломбир» ЗАО «Белоснежка» представлена в табл. 80. Рассчитайте прогнозные оценки на следующие три месяца.

Т а б л и ц а 80

№ п.п.	Месяц	Объем продаж, руб.	№ п.п.	Месяц	Объем продаж, руб.
1	2	3	4	6	7
1.	июль	8174,40	13.	июль	8991,84
2.	август	5078,33	14.	август	5586,16
3.	сентябрь	4507,21	15.	сентябрь	4957,92
4.	октябрь	2257,20	16.	октябрь	2482,92
5.	ноябрь	3400,70	17.	ноябрь	3740,77
6.	декабрь	2968,72	18.	декабрь	3265,59
7.	январь	2147,14	19.	январь	2361,86
8.	февраль	1325,57	20.	февраль	1458,12

Окончание табл. 80

1	2	3	4	5	6
9.	март	2290,96	21.	март	2520,05
10.	апрель	2953,34	22.	апрель	3248,67
11.	май	4216,28	23.	май	4637,91
12.	июнь	8227,57	24.	июнь	9050,33

Задание 19. Табл. 81 представляет временной ряд по показателю потребления безалкогольного напитка «Тархун» в декалитрах в одном из регионов РФ начиная с 1993 г. Рассчитайте ежемесячные прогнозные оценки потребления этого напитка на 2000 г.

Т а б л и ц а 81

Месяц	1993 г.	1994 г.	1995 г.	1996 г.	1997 г.	1998 г.	1999 г.
Январь	6,702	7,206	7,722	7,925	8,401	8,485	8,848
Февраль	6,631	6,934	7,287	7,374	7,797	8,382	8,753
Март	8,457	9,099	8,744	8,940	10,238	10,563	11,155
Апрель	8,456	9,110	9,334	9,769	10,406	10,937	10,898
Май	9,100	10,038	10,162	10,126	11,217	10,998	11,917
Июнь	10,586	10,491	10,270	9,772	11,891	12,587	12,955
Июль	10,593	9,830	11,482	11,371	11,971	12,557	12,131
Август	10,479	10,392	10,987	11,896	11,057	11,976	12,752
Сентябрь	9,044	8,947	9,313	10,511	10,490	10,906	11,016
Октябрь	7,837	8,312	9,171	9,944	9,701	9,720	10,493
Ноябрь	7,855	8,096	8,264	8,853	8,794	9,560	9,832
Декабрь	8,115	8,331	8,312	9,312	9,638	9,745	9,355

1 Боровиков В.П. Прогнозирование в системе STATISTICA среде Windows: Основы теории и интенсивная практика на компьютере: учеб. пособие / В.П. Боровиков, Г.И. Ивченко. – М.: Финансы и статистика, 2006. – С. 160-161.

2 Ханк Д.Э. Бизнес-прогнозирование: Пер. с англ. / Д.Э. Ханк, Д.У. Уичерн, А.Дж. Райтс. – М.: Вильямс, 2003. – С. 232.

228