2. Множественная регрессия

Пример 2. Руководство ОАО «Железные дороги» вынуждено периодически повышать цены на свои услуги. То, что повышение цен явно негативным образом влияет на число пассажиров, пользующихся услугами железной дороги, можно понять, проанализировав, в частности, данные табл. 8.

Т а б л и ц а 8

Показатели, характеризующие деятельность ОАО «Железные дороги»

Стоимость проезда 1 чел. в поезде Воронеж – Москва, руб.	Среднемесячное число пассажиров поезда Воронеж – Москва	Стоимость проезда 1 чел. в поезде Воронеж – Москва, руб.	Среднемесячное число пассажиров поезда Воронеж – Москва
180	12390	460	11460
180	12600	460	11010
230	11910	460	10620
230	11940	575	9690
230	11580	575	9510
345	11730	685	9870
345	11490	685	8910
345	11400	685	8580

Руководство планирует в следующем периоде поднять цены на билеты для пассажиров поезда Воронеж – Москва. В этой связи было решено поручить студенту экономического факультета, проходящему практику в отделе экономического анализа управления железной дороги, известным ему методом спрогнозировать среднемесячное число пассажиров поезда при условии, что билет на этот поезд будет стоить 690 руб. Студент-практикант решил применить к имеющимся данным регрессионный анализ и, воспользовавшись его результатами, получить требуемую прогнозную оценку.

Решение с помощью MS Excel

1. Ввод исходных данных.

2. Подготовка данных для расчета оценок коэффициентов линейной регрессии и оформление их в виде табл. 9.

Т а б л и ц а 9

Промежуточные расчеты оценок коэффициентов регрессионного уравнения

№ п.п.
1.	180	12390	32400	2230200	153512100
2.	180	12600	32400	2268000	158760000
3.	230	11910	52900	2739300	141848100
4.	230	11940	52900	2746200	142563600
5.	230	11580	52900	2663400	134096400
6.	345	11730	119025	4046850	137592900
7.	345	11490	119025	3964050	132020100
8.	345	11400	119025	3933000	129960000
9.	460	11460	211600	5271600	131331600
10.	460	11010	211600	5064600	121220100
11.	460	10620	211600	4885200	112784400
12.	575	9690	330625	5571750	93896100
13.	575	9510	330625	5468250	90440100
14.	685	9870	469225	6760950	97416900
15.	685	8910	469225	6103350	79388100
16.	685	8580	469225	5877300	73616400
Средние значения	416,88	10918,13	205268,75	4349625,00	120652931,25

3. Расчет оценок коэффициентов регрессии

, .

Таким образом, построенная модель может быть записана в виде

.

Коэффициент этой модели показывает, что в среднем увеличение стоимости проезда на 1 руб. приводит к уменьшению числа пассажиров на 6 человек.

4. Расчет коэффициентов корреляции и детерминации

; ;

; .

Коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существенной зависимости среднемесячного числа пассажиров от стоимости проезда. Коэффициент детерминации также достаточно высокий, он показывает, что число пассажиров объясняется стоимостью проезда на 89%.

5. Расчет дисперсионного отношения Фишера

.

Сравнение расчетного значения F-критерия с табличным для 5%-го уровня значимости (см. Приложение) позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.

6. Расчет стандартных ошибок по формулам, в которых используется средняя квадратическая ошибка , вычисленная в соответствии с данными табл. 10.

, .

Т а б л и ц а 10

Промежуточные расчеты стандартных ошибок

№ п.п.
1.	180	12390	12436,92	2201,04
2.	180	12600	12436,92	26596,64
3.	230	11910	12116,33	42570,52
4.	230	11940	12116,33	31090,95
5.	230	11580	12116,33	287645,85
6.	345	11730	11378,97	123220,91
7.	345	11490	11378,97	12327,30
8.	345	11400	11378,97	442,19
9.	460	11460	10641,62	669750,71
10.	460	11010	10641,62	135706,02
11.	460	10620	10641,62	467,30
12.	575	9690	9904,26	45908,38
13.	575	9510	9904,26	155442,84
14.	685	9870	9198,97	450285,72
15.	685	8910	9198,97	83501,74
16.	685	8580	9198,97	383119,74
Сумма квадратов отклонений расчетных от фактических значений				2450277,85
Среднеквадратическая ошибка				418,35

7. Расчет t-статистик Стьюдента

, .

Сравнение расчетных значений с табличным (см. Приложение) подтверждает значимость коэффициентов регрессии.

8. Расчет доверительных границ для коэффициентов регрессии

, ,

; ;

; .

9. Построение линейного уравнения регрессии и расчет всех его характеристик с помощью пакета «Анализ данных» Excel (см. Вывод итогов 3)

ВЫВОД ИТОГОВ 3
Регрессионная статистика
Множественный R	0,945622
R-квадрат	0,894201
Нормированный R-квадрат	0,886643
Стандартная ошибка	418,3537
Наблюдения	16
Дисперсионный анализ
	df		SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1		20709366	20709366	118,3258	3,26E-08
Остаток	14		2450278	175019,8
Итого	15		23159644
	Коэффи-циенты		Стандарт-ная ошибка	t-статис-тика	P-Зна-чение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	13591,04		267,0547	50,89233	2,73E-17	13018,26	14163,81
Переменная X 1	-6,41178		0,589439	-10,8778	3,26E-08	-7,676	-5,14756

10. Получение прогнозной оценки числа пассажиров

.

11. Расчет доверительных границ прогнозной оценки

,

.

Пример 3. Экономисту-аналитику одной крупной компании было поручено указать обоснованный размер заработной платы руководителя будущего филиала этой компании. Ожидаемый объем среднемесячных продаж филиала составит 6500 тыс. у.е. Сотрудник, который, как планируется, должен занять пост руководителя, имеет законченное высшее образование, а срок работы в должности директора другого филиала компании – 3 года. С целью решения поставленной задачи экономист-аналитик решил сначала изучить опыт других компаний, собрав сведения, представленные в табл. 11, в которой за обозначена среднемесячная заработная плата руководителей, у.е.; за – образование (0 – нет высшего образование, 1 – незаконченное высшее, 2 – высшее); за – срок работы в должности руководителя, лет; за – годовой объем продаж компании, тыс. у.е.

Т а б л и ц а 11

Данные о 30 российских компаниях

Компания					Компания
1	453	0	26	872	16	1 652	2	14	12 949
2	1 948	2	23	1 227	17	782	1	9	5 061
3	1 735	2	15	1 712	18	613	1	1	1 929
4	643	1	23	1 681	19	1 488	2	8	2 643
5	1 461	2	8	5 673	20	447	2	1	1 084
6	357	0	1	1 117	21	1 752	1	14	5 137
7	669	1	2	1 475	22	2 497	0	30	844
8	2 094	2	8	10 818	23	768	1	8	2 097
9	597	0	23	2 686	24	2 342	2	34	835
10	889	1	5	220	25	3 409	1	30	14 021
11	514	0	3	661	26	2 244	2	5	4 451
12	466	1	2	1 539	27	601	2	5	1 911
13	2 833	2	14	11 663	28	1 554	1	17	1 435
14	427	1	15	2 366	29	462	0	11	1 314
15	1 856	2	3	4 864	30	587	0	5	2 301

Постройте модель множественной регрессии, отражающую зависимость среднемесячной зарплаты от указанных факторов, и оцените ее качество. Используя построенную модель, осуществите прогнозный расчет заработной платы руководителя будущего филиала компании.

Решение с помощью табличного процессора Excel

1. Ввод исходных данных с включением дополнительной переменной , принимающей единственное значение, равное 1.

2. Расчет коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel: ТРАНСП, МУМНОЖ, МОБР.

;

; .

Таким образом, построенная модель имеет следующий вид:

.

3. Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии

3.1. Проведение промежуточных расчетов, требуемых для расчета остаточной дисперсии, и оформление их в виде табл. 12.

Т а б л и ц а 12

Промежуточные расчеты остаточной дисперсии

Компания				Компания
1	453	1154,46	492052,43	17	782	1228,95	199768,26
2	1948	1797,72	22583,26	18	613	600,01	168,62
3	1735	1517,37	47362,93	19	1488	1320,89	27926,87
4	643	1475,62	693262,60	20	447	884,43	191345,71
5	1461	1612,90	23074,14	21	1752	1440,71	96899,55
6	357	155,91	40439,03	22	2497	1315,31	1396383,37
7	669	597,15	5162,82	23	768	902,41	18066,92
8	2094	2108,75	217,54	24	2342	2209,70	17503,54
9	597	1206,63	371645,73	25	3409	2951,09	209677,47
10	889	598,86	84182,61	26	2244	1372,47	759562,00
11	514	193,73	102571,43	27	601	1127,68	277391,76
12	466	603,32	18855,47	28	1554	1206,59	120690,40
13	2833	2435,51	158000,95	29	462	583,76	14825,39
14	427	1214,55	620228,48	30	587	433,56	23543,75
15	1856	1330,50	276149,72	Сумма квадратов отклонений			7132998,11
16	1652	2559,44	823455,38	Остаточная дисперсия			274346,08

3.2. Получение стандартных ошибок

;;

;.

4. Расчет t-статистик

; ;

; .

Сравнение полученных t-статистик с табличным значением (см. Приложение) подтверждает значимость таких коэффициентов регрессии, как , , , и незначимость коэффициента .

5. Вычисление множественного коэффициента корреляции.

5.1. Проведение промежуточных расчетов и оформление их в виде табл. 13.

Т а б л и ц а 13

Промежуточные расчеты множественного коэффициента корреляции

669669,44	1,36	193,21	7187046,08
457877,78	0,69	118,81	5409655,75
214986,78	0,69	8,41	3388790,08
394802,78	0,03	118,81	3503884,82
35973,44	0,69	16,81	4494965,35
836005,44	1,36	123,21	5933446,42
362805,44	0,03	102,01	4317529,88
676780,44	0,69	16,81	52782162,35
454725,44	1,36	118,81	751457,82
146178,78	0,03	50,41	11108000,22
573553,78	1,36	82,81	8362892,82
648561,78	0,03	102,01	4055658,95
2438802,78	0,69	3,61	65774262,68
712898,78	0,03	8,41	1408652,48
341835,11	0,69	82,81	1719070,62
144907,11	0,69	3,61	88287321,62
239447,11	0,03	9,61	2274466,15
433402,78	0,03	123,21	2636942,95
46944,44	0,69	16,81	827857,35
679525,44	0,69	123,21	6095302,62
231040,44	0,03	3,61	2509478,42
1502258,78	1,36	320,41	7337958,62
253344,44	0,03	16,81	2119547,75
1146327,11	0,69	479,61	7386799,22
4569618,78	0,03	320,41	109581815,48
946080,44	0,69	50,41	806643,48
449346,78	0,69	50,41	2695726,15
79900,44	0,03	24,01	4485359,22
655020,44	1,36	1,21	5012523,95
468312,11	1,36	50,41	1567170,15
Сумма квадратов отклонений
20810934,67	18,17	2740,70	423822389,47
Дисперсия
717618,44	0,63	94,51	14614565,15
Среднеквадратическое отклонение
847,12	0,79	9,72	3822,90

5.2. Расчет множественного коэффициента корреляции

.

Множественный коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существенной зависимости величины заработной платы от включенных в модель факторов.

6. Расчет бета-коэффициентов

;

;

.

Полученные значения бета-коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени их влияния на моделируемый показатель следующим образом:

1) стаж работы в должности руководителя (в большей степени влияющий фактор);

2) годовой объем продаж компании;

3) образование (в меньшей степени влияющий фактор).

7. Вычисление парных коэффициентов корреляции.

7.1. Проведение промежуточных расчетов и оформление результатов расчетов в виде табл. 14.

Т а б л и ц а 14

Промежуточные расчеты парных коэффициентов корреляции

1	2	3
954,72	-11374,83	2193842,56
563,89	7375,67	-1573836,44
386,39	1344,63	-853548,51
104,72	-6848,83	1176156,22
158,06	-777,63	402118,62
1066,72	10149,10	2227194,09
100,39	6083,57	1251568,36
685,56	-3372,93	5976783,02
786,72	-7350,23	584557,09
63,72	2714,57	1274266,02
883,56	6891,73	2190107,02
134,22	8133,87	1621833,96
1301,39	2967,17	12665324,89
140,72	-2448,57	1002111,09
487,22	-5320,47	766575,96
317,22	723,27	3576794,76
81,56	1516,93	-737979,91
109,72	7307,50	1069045,56
180,56	-888,33	-197137,78
-686,94	9150,10	2035169,09
-80,11	913,27	761440,09
-1429,94	21939,43	-3320167,58
83,89	2063,67	732786,22
892,22	23447,60	-2909929,24
-356,28	38264,23	22377379,69
810,56	-6905,93	873584,36
-558,61	4759,37	1100597,96

Окончание табл. 14

1	2	3
-47,11	1385,07	-598650,31
944,22	890,27	1811989,42
798,39	4858,77	856694,09
Суммы произведений
8877,33	117592,00	58336670,33

7.2. Расчет парных коэффициентов корреляции

; ;

.

8. Вычисление дисперсионного отношения Фишера

.

Сравнение расчетного значения F-критерия с табличным для 5%-го уровня значимости (см. Приложение) позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.

9. Построение с помощью «Пакета анализа» линейного регрессионного уравнения (см. Вывод итогов 4).

ВЫВОД ИТОГОВ 4
Регрессионная статистика
Множественный R	0,8107080
R-квадрат	0,6572475
Нормированный R-квадрат	0,617699
Стандартная ошибка	523,78056
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	13677937	4559312,19	16,618834	3,11E-06
Остаток	26	7132998,1	274346,081
Итого	29	20810935
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статис-тика	P-Зна- чение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	7,3681327	219,864	0,033512	0,9735221	-444,57	459,306
Переменная X 1	365,8528	133,786	2,734594	0,0110946	90,8498	640,855
Переменная X 2	40,886834	10,2142	4,002904	0,0004639	19,8910	61,8826
Переменная X 3	0,0963746	0,02780	3,466448	0,0018469	0,03922	0,15352

10. Использование построенной модели в прогнозных целях

у.е.

Решение с помощью системы STATISTICA

1. Ввод исходных данных (без включения дополнительной переменной).

2. Вызов модуля «Множественная регрессия» (Статистика / Множественная регрессия, см. рис. 2).

Рис. 2. Меню Статистика

3. Выбор переменных для анализа (Multiple Linear regressions / Variables / OK / Select dependent and independent variable lists / OK, см. рис. 3).

Рис. 3. Выбор переменных для анализа (dependent var. – зависимая переменная;