Определение устойчивости по критерию Гурвица:

Из характеристического уравнения имеем

а₀=2, а₁=65, а₂=425, а₃=1250, а₄=5568,75

А1 = а₁ = 65

– главный определитель Гурвица

a₀=2, 65, 25130, 7878000, 43870000000

Определители Гурвица низшего порядка имеют тот же знак, что и a₀, следовательно, система устойчива.

Определение устойчивости по критерию Михайлова:

D(p)= =0 – характеристическое уравнение системы

Подставляем p=j и находим вещественную и мнимую функции Михайлова:

X()=2⁴–425²+5568,75=0

Y()=(–65²+1250)=0

Корни уравнения Y()=0 ₁=0, ₂=4,385

Корни уравнения X(ω)=0 ω₁=14,03 ω₂=198,47

а) б)

Рис.4 - Годограф Михайлова.

Согласно критерию Михайлова , для устойчивости системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического вектора D(p), где , начинаясь при на действительной оси, с ростом от обходил последовательно, следуя против часовой стрелки, 4 квадранта, нигде не обращаясь в ноль.

Кривая проходит через четыре квадранта, и при этом вектор D(p) нигде не обращается в ноль, значит система устойчива.

Определение устойчивости по критерию Найквиста:

– передаточная функция разомкнутой цепи

Заменив p на j, получаем

откуда

Рис.5 – АФЧХ разомкнутой системы

По критерию Найквиста, для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы при изменении от не охватывал точку (-1; j0).

Построив годограф, мы видим, что он не огибает точку (–1; j0), следовательно, по критерию Найквиста система устойчива.

Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

Рис.6 - АФЧХ разомкнутой системы

Запас устойчивости по амплитуде 0.25( отрезок, заключенный между точкой (–1; j0)

запас по устойчивости по фазе =22.72

5. Лах разомкнутой исходной системы, желаемая лах,

ЛАХ и передаточная функция корректирующего устройства.

W_раз(p)= , откуда

T₁=0.2, T₂=0.04

₁= 5 ₂= 25

lg₁=0.69 lg₂=1.39

K₁= 33,3

, (10)

. (11)

Первая низкочастотная асимптота до частоты ₂ имеет наклон –20 дБ/дек, от ₂ до ₃ наклон –40 дБ/дек, от ₃–60 дБ/дек.

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ даны в приложении.

Построение желаемой лачх с учетом требуемых значений быстродействия, перерегулирования и точности.

Построение желаемой ЛАЧХ производится из следующих условий быстродействия, перерегулирования и точности: σ=20%, t_р=2 c.

Требуемое значение запаса по модулю дБ и запаса по фазе .

Из полученных условий строим желаемую ЛАЧХ. Отметим точку и проведем через нее прямую с наклоном –20дБ/дек, которая представляет собой среднечастотную амплитуду желаемой ЛАЧХ. Продолжим прямую до тех пор, пока ординаты не станут равными L₁ и L₂. Этим точкам соответствуют частоты и : , . Из этих данных определяем , . Низкочастотная область желаемой ЛАЧХ совпадает с исходной ЛАЧХ: .

Высокочастотную область проводят так, чтобы через каждую 0,2 дек ломать на 20 дБ/дек, чтобы наклон желаемой ЛАЧХ в конце совпало с исходной ЛАЧХ: Она представлена в приложении.

Составим передаточную функцию разомкнутой системы для желаемой САУ, получим:

. (11)

После этого построим ЛФХ желаемой системы (см. приложение) и определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, и сравним их с запасами устойчивости, полученными из номограммы.

,

Запас по фазе , запас устойчивости по амплитуде равен . Требуемые запасы выполняются.

График желаемой ЛАЧХ представлен в приложении.