1.3 Определение устойчивости

Проверяем систему на устойчивость, по критерию устойчивости Найквиста и Гурвица.

Критерию устойчивости Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица били положительны.

Выписываем знаменатель общей передаточной функции.

L (р) = 2125*(1.626р³+4.066р²+3.388р+1)

_{a0 = 1.626, a1 = 4.066, а2 = 3.388, а3 = 1 – коэффициенты определителя Гурвица.}

Составляем определители Гурвица.

Общий определитель Гурвица.

Первый определитель Гурвица.

Второй определитель Гурвица.

Третий определитель Гурвица.

Все миноры определителя Гурвица положительны, значит, вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна, и согласно теореме Ляпунова САУ устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста.

Система устойчива, если при изменении частоты от (0;+ ∞) годограф разомкнутой системы не охватывает m/2 раз точку (-1;j0) в положительном направлении, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы лежащей в правой полуплоскости.

Рисунок 6 - Годограф линейной части разомкнутой системы

Построенный годограф разомкнутой системы не охватывает m/2 раз точку (-1;j0) в положительном направлении, система устойчива.

1.4 Построение переходного процесса

Определяем прямые оценки качества линейной системы.

Для этого по полученному выражению передаточной функции исследуемой системы определяем переходную функцию, используя обратное преобразование Лапласа.

Переходная функция – реакция системы на ступенчатое входное воздействие.

Определяем переходную функцию.

Строим переходный процесс.

Рисунок 7 - Переходный процесс линейной части системы

Находим по графику установившееся значение переходной функции.

Находим по графику максимальное значение переходной функции.

Находим 5 % от установившегося значения переходной функции.

см

см

Определяем прямые оценки качества СУ.

1) Время переходного процесса сек – время регулирования системы, определяется как интервал времени от момента приложения, какого – либо воздействия до времени вхождения в пяти процентную трубку. Определяет быстродействие системы.

2) Перерегулирование (максимальная динамическая ошибка) – определяется выражением:

3) Колебательность N = 0 – число колебаний системы от момента воздействия на нее до перехода в установившееся состояние.

4) Время нарастания регулируемой величины сек – время, при котором выходная величина достигает своего максимального значения.

5) Время первого согласования сек – определяется как время, за которое регулируемая величина первый раз достигает своего установившегося значения.

2.5 Построение АЧХ

Амплитудо-частотная характеристика – строится для того, чтобы определить косвенные оценки качества системы.

Для определения частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ) в передаточной функции системы делаем замену: р = jω.

АЧХ и ФЧХ будут определяться следующим образом.

Рисунок 8 - АЧХ линейной системы

Определяем косвенные оценки качества СУ.

1) Колебательность (показатель колебательности)

,

где А(0) – значение АЧХ при ω = 0.

,

.

2) Резонансная частота определяется как частота, при которой АЧХ достигает максимального значения.

3) Частота среза определяется как частота, при которой значение АЧХ равно 1 или 0.1. Характеризует длительность переходного процесса (чем меньше ω_ср, тем хуже быстродействие системы).

4) Полоса пропускания (ω1÷ω2) = (0.26; 3.3) – время наилучшего прохождения сигнала по системе.

Для ее определения вычисляется величина

,

.