БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

Теория автоматического управления

на тему

Исследование устойчивости линейных и нелинейных систем

автоматического управления

Пояснительная записка

Выполнил ст. гр. УИТ-42:

Кочетовский А. А.

Принял:

Мартынова И.В.

«_____» ___________2005

2005

СОДЕРЖАНИЕ

ВЫВОД 13

5 АНАЛИЗ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА 16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 20

ВВЕДЕНИЕ

Построение систем автоматического управления требует создания качественных регуляторов. Данная задача является первостепенной в любой САУ. Построение качественного регулятора требует создание такой системы, которая была бы устойчивой при некотором изменении внешних факторов и внутренних процессов.

В выполняемой курсовой работе предлагается исследовать линейную и нелинейную систему и ознакомится с влиянием нелинейных узлов на работу регулятора.

В ходе контрольной работы будет проведено упрощение системы, определена ее устойчивость и найдены основные характеристики качества управления. Данные операции будут проделаны для линейной и нелинейной САУ. Будет показано, как влияет введение в регулятор нелинейных узлов, и определен положительный (отрицательный фактор) данных узлов в системе. В ходе выполнения курсовой работы будет построен фазовый портрет, который является отражением работы нелинейной системы

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАЗРАБОТКИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Следящий гидропривод с объемный регулированием, имеющий механическое управление, снабжается устройством, в котором сравнивается входной сигнал, задаваемый оператором, и сигнал поступающий с обратной связи, который пропорционален углу поворота вала гидроматора или перемещение штока гидроцилиндра. Выявленная при этом ошибка должна быть пропорциональна изменению угла  наклона блока цилиндра насоса. Если исполнительный гидродвигателем является гидромотор, то элементом сравнения входного сигнала и сигнала обратной связи может служить механический дифференциал. В этом случае при повороте ручки управления на угол  на этот же угол повернется и соединенная с ней шестерня 1 дифференциала. Шестерня 2, обегая шестерню 8, поворачивает вал, на котором они вращаются. Вместе с валом вращается винт 3, по которому при этом перемещается гайка 4, соединенная с блоком цилиндра или с шайбой насоса. Вследствие отклонения блока цилиндра (шайбы) от нейтрального положения жидкость из насоса 5 поступает в гидромотор 6, приводя во вращение вал последнего. От вала гидромотора через зубчатую передачу 7 приводится о вращение шестерня 8 дифференциала. При вращение этой шестерни винт 3 возвращает гайку 4 вместе с блоком цилиндра в нейтральное положение после чего вал гидродвигатель останавливается.

рисунок 1 –принципиальная схема гидропривода

Составим функциональную схему гидропривода с механическим управлением, выделив при этом основные блоки, систем при этом примет вид рисунке 2.

X(t) U(t) Y(t)

Рисунок 2 –функциональная схема гидропривода

Опишем, какими механическими устройствами представлены основные звенья функциональной схемы гидропривода:

У.У.- насос гидропривода

О.У. – гидромотор

Д. – дифференциал.

Определим входные и выходные сигналы функциональных элементов системы автоматического управления.

X(t) – входным сигналом системы является угол поворота ручки управления (т.е оператор системы задает угол, на который должен повернуться вал гидромотора ). Этот сигнал поступает на У.У. и определяет какое количество жидкости должен перегнать насос в цилиндры гидромотора, из этого делаем вывод, что U(t) – количество воды выпущенное из насоса. Вода приводит во вращение вал гидромотора и следовательно Y(t) – ,выходной сигнал системы, получается угол поворота вала двигателя. На вход датчика поступает сигнал угла поворота вала гидромотора, который сравнивается с входным сигналом (углом поворота ручки управления). Сигнал с датчика, так же являющийся угловой мерой, поступает на вход насоса. На этом один круг регулирования системы гидропривода с механическим управлением заканчивается.

2 РАЗРАБОТКА СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ

Воспользуемся структурной схемой гидропривода с механическим управлением из справочника Попова.

Структурная схема этой системы изображена на рисунке 3.

рисунок 3 –структурная схема гидропривода

где К-коэффициент передачи от ручки управления до блоков цилиндров насоса.

К о. с.1- коэффициент передачи обратной связи от вала гидроцилиндра до блоков цилиндров насоса.

Кн1 – коэффициент передачи дифференциала (из условия системы он обычно значительно меньше коэффициента Кос1 и при рассмотрении устойчивости системы может не учитываться)

- передаточная функция насоса

- передаточная функция гидромотора

2.1 Выбор передаточных функций элементов системы

Выбор коэффициентов звеньев структурной схемы ведем исходя из того, что система гидропривода с механическим регулированием должна быть устойчива.

• Выбор передаточной функции объекта управления.

В ыберем передаточную функцию гидромотора равную:

• Выберем передаточную функцию устройства управления

В ыберем передаточную функцию насоса равную:

• Выбор передаточной функции обратной связи

В ыберем коэффициент передачи обратной связи равный 5.

• В ыберем коэффициент передачи от ручки управления до блоков цилиндров насоса равный:

3 РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ

В структурную схему входят типовые динамические звенья, поэтому расчет устойчивости и качества регулирования нетрудно провести по переходным, амплитудно-частотным и логарифмическим характеристикам. Произведем расчет устойчивости системы гидропривода. Для этого произведем вычисление общей передаточной функции системы (см. рисунок 3). Выражение будет иметь вид:

П одставим числовые значения передаточных функций всех элементов, получим:

• П остроим график переходного процесса системы:

Рисунок 4 –график переходного процесса

Из графика переходного процесса определим прямые показатели качества регулирования САР:

По графику определяем значения 10% трубки, откладывая вверх и вниз по 5% от установившегося значения.

Определим по графику прямые показатели качества:

1. Время регулирования t=2,2

2. Время нарастания t=1,4

3. Время первого согласования t=1,1

4. Число колебаний регулируемой величины n=0

5. Перерегулирование

6. Установившееся значение регулируемой величины h=0.4

7. Максимальное значение регулируемой величины h=0.46

• Построим АЧХ системы и определим косвенные показатели качества:

Д ля построения АЧХ системы заменим р на в передаточной функции системы

График АЧХ будет иметь вид:

рисунок 5 - график АЧХ системы

Определим косвенные показатели качества:

1. Частота среза w=4,5 (при значении амплитуды 0,1*А)

2. Колебательность системы М=1

3. Полоса пропускания: для ее определения считается значение

Определяем значение частот при амплитуде 1.4: w1=0 w2=0.5

4. Значение амплитуды при нулевой частоте: А₀=2

5. Максимальное значение амплитуды: A_max=2

6. Период колебаний:

7. Перерегулирование: =15%

• Построим логарифмические характеристики системы: ЛФЧХ есть ФЧХ рассматриваемая как функция ln(ω). Для построения этих характеристик воспользуемся средой MATLAB.

s=zpk('s');w=20/(s^3+7*s^2+25*s+50) – создание ЗПК объекта

Zero/pole/gain:

20

--------------------------------

(s+3.878) (s^2 + 3.122s + 12.89)

>> sisotool(w)

рисунок 6 –график ЛФЧХ и ЛАЧХ системы

Из графиков видно:

• запас устойчивости по фазе составляет γ_С=5⁰

• запас устойчивости по амплитуде L_ЗАП=15.9 дБ

ВЫВОД

В ходе первой части курсовой работы была найдена общая передаточная функция системы, построены графики переходного процесса, АЧХ, ЛФЧХ и ЛАЧХ. Анализ показателей качества показывает, что система весьма точна в регулировании и не имеет колебаний. Однако другие характеристики говорят о низком запасе устойчивости по фазе, что весьма неблагоприятно скажется на управлении системы при изменении некоторых параметров управления. Данную ситуацию простым изменением коэффициентов исправить не удалось, есть вероятность, что требуется ввод дополнительных звеньев. Достаточно большой запас устойчивости по амплитуде дает шанс серьезного изменения коэффициентов усиления основной схемы, без потери устойчивости.

4 Ввод в систему нелинейного элемента

Введем в систему нелинейный элемент – гидравлическое реле. Характеристика данного реле содержит зону нечувствительности (рисунок 8).

Рисунок 7 – система гидропривода с нелинейным элементом

∆Q

р

Рисунок 8 – характеристика гидравлического реле

Данное реле работает следующим образом: насос подает количество жидкости на гидромотор, но до него не доходит до тех пор пока давление не достигнет значения а или –а.

Такая характеристика соответствует следующей системе:

(4.1)

где p – давление на входе гидравлического реле, Q-количества жидкости на выходе гидравлического реле. Для реализации задания, по построению фазового портрета примем следующие значения для b и a:

а=0,5 Па, b=5 м³/c (4.2)

5 Анализ системы с учетом нелинейного элемента

На вход гидравлического реле с сумматора поступает разность давлений P=P_зад-P_о.с (см. рис.8). Будем считать, что разность давлений системы P=0. Обозначим сигнал на выходе линейной части x=P(S) Тогда на вход нелинейного элемента будет поступать сигнал Р =-x, а на вход линейной части x₁=F(Р)= F(-x). Преобразуем исходную систему (см. рисунок 7) в одноконтурную систему с последовательно соединенными нелинейной и линейной частями (рисунок 8).

X=P(s)

X1=F(-x)

-

P(s)=0

P

X=P(s)

Рисунок 8 - Преобразованная структурная схема САР

Линейная часть разомкнутой системы будет иметь следующую передаточную функцию:

>> W=w1*w2*w3*w4

Zero/pole/gain:

4

--------------------------

(0.04s^2 + 28s + 1)

На основании системы 4.1 и условий 4.2, имеет следующий вид:

(5.1)

Воспользовавшись передаточной функцией линейной части и релейной зависимостью F(-x), найдем дифференциальное уравнение, описывающее систему.

(5.2)

Так как релейная характеристика элемента нечетная, то F(-x)=-F(x). Тогда получим:

(5.3)

Перехода в 5.3 к дифференциальному виду имеем:

(5.4)

Введем замену

Так как фазовый портрет строится на плоскости, отбросим члены у которых показатель степени выше 2:

(5.5)

Преобразуя (5.5) получим:

Для построения фазового портрета перейдем к дифференцированию по переменной x (вводя замену ):

(5.6)

Воспользовавшись системой 5.1, находим аналитическое значение выражения F(x):

(5.7)

Применяя полученную систему 5.7 к уравнению 5.6, получаем следующую зависимость:

(5.8)

Для построения фазовых траекторий на плоскости, воспользуемся программным математическим пакетом Mathcad. Зададим вектор начальных условий:

Определим функцию D по 3-м линейным участкам нелинейной статической характеристики (см (5.8)) Для этого применяем метод условного программирования.

Построим траекторию на фазовой плоскости, предполагая, что первый столбец матрицы решения содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения, второй - содержит значения найденного решения, то есть y(t) и, наконец, третий столбец содержит первые производные этого решения, то есть dy(t)/dt.

Найдем матрицу решения заданной функции.

_{На рисунке 9 приведен полученный фазовый портрет.}

_{рисунке 9 – фазовый портрет САР}

_{рисунке 10 – график переходного процесса САР}

Из графика переходного процесса и фазового портрета можно сделать вывод, что колебания в системе носят затухающий характер, с большим показателем времени затухания. Из точки, соответствующей начальным условиям, система движется в точку, где она находится в некотором равновесном состояние. Это является достаточным для нормального функционирования системы.