21.3. Коэффициенты ошибок дискретной системы.
При анализе точности непрерывных систем при полиномиальных (степенных) входных воздействиях успешно применяется метод коэффициентов ошибок. Этот же метод может использоваться и для дискретных автоматических систем.
Из изложенного ранее материала следует, что выражение для сигнала ошибки импульсной системы в вынужденном процессе может быть записано в виде:
, (21.11)
где - импульсная переходная функция замкнутой системы по ошибке.
Из теории решетчатых функций известно, что смещенная функция может быть выражена через свои конечные разности до i- ого порядка включительно:
, (21.12)
где .
Подставляя выражение (21.12) в (21.11), получим:
.
Меняя порядок суммирования и группируя тем самым слагаемые, соответствующие разностям , получим:
. (21.14)
Введем коэффициенты сj, определяемые соотношениями:
. (21.15)
Тогда выражение (21.14) приобретает вид:
, (21.16)
то есть величина вынужденной ошибки в системе полностью определяется введенными коэффициентами сj и разностями квантованного входного сигнала.
Коэффициенты сj - называются коэффициентами ошибок дискретной системы. Они могут быть вычислены заранее по передаточной функции замкнутой системы :
.
Дифференцируя эту зависимость по z, получим для j- производной:
.
Сравнивая полученное выражение с формулой (21.15), получим:
. (21.17)
При вычислении коэффициентов ошибок производные обычно находят не непосредственным дифференцированием, а определяя коэффициенты разложения функциив ряд Тейлора по степеням (z-1).
Действительно, данное разложение имеет вид:
.
Коэффициенты данного разложения легко находятся переходом от переменной z к новой переменной и последующим делением числителя полученного дробно- рационального выражения на знаменатель.
Рассмотрим пример:
Определим ошибку, устанавливающуюся в импульсной системе, если:
и f[kT]=a0+a1kT, a0=2, a1=4, T=1.
Введем новую переменную , получим:
(21.18)
Разделив числитель и знаменатель, найдем разложение функции (21.18) в ряд по степеням (запишем только два первых члена):
Откуда следует, что с0=0; с1=0,384; с2=0,326 и тогда:
.
Таким образом, мы рассмотрели, как оценивается точность импульсных систем при степенных входных воздействиях. В случае необходимости проведения анализа точности при гармоническом входном сигнале он выполняется с помощью псевдочастотных ЛАФЧХ импульсной системы совершенно аналогично тому, как это делалось для непрерывных систем. При этом для перехода от ЛАФЧХ разомкнутой дискретной системы к ЧХ по сигналу ошибки могут использоваться те же номограммы замыкания, что и для непрерывных систем.