21.2. Анализ точности при полиномиальных (степенных) воздействиях.

Рассмотрим вынужденные процессы, возникающие в дискретных системах при степенных воздействиях, и оценим точность воспроизведения входного сигнала.

Пусть входной сигнал является постоянным, то есть f[kT]=A=const

Определим вынужденный процесс:

тогда: х_в[kT]=d₀A.

В соответствии с формулой , имеем, то есть вынужденный процесс при постоянном входном воздействии также является постоянной величиной.

Пусть входной сигнал:

f[kT]=AkT,

изменяется по линейному закону. Тогда Для вынужденного процесса (21.5) получаем:

х_в[kT]=d₀AkT+d₁A,

где d₀=W^*(0), ;

то есть вынужденный процесс при линейном входном воздействии является также сигналом, изменяющимся по линейному закону, параметры которого определяются коэффициентами передаточной функции системы.

Продолжая рассмотрение, можно прийти к следующему результату: вынужденный процесс при степенном воздействии является полиномом той же степени, что и входной сигнал. Коэффициенты этого полинома определяются коэффициентами входного воздействия и параметрами передаточной функции системы.

Рассмотрим замкнутую импульсную систему, структурная схема которой представлена на рис.21.1.

Рис.21.1.

Оценим точность воспроизведения системой полиномиального входного воздействия:

f[kT]=A₀+A₁(kT)+...+A_e(kT)^e (21.9),

для чего рассмотрим установившуюся ошибку системы .

Рассматривая z-ПФ дискретных систем, легко видеть, что порядок астатизма дискретной системы (то есть порядок полюса z=1 передаточной функции W(z)) совпадает с порядком астатизма приведенной непрерывной части системы. Если порядок астатизма дискретной системы равен r, то ее z-ПФ может быть записана в виде:

(21.9),

где -не имеет в точке z=1 ни нулей, ни полюсов.

Так как ПФ замкнутой системы по ошибке определяется соотношением:

,

то с использованием зависимости (21.9) найдем:

,

где .

Тогда по теореме о предельном значении решетчатой функции для сигнала ошибки можно записать:

. (21.10)

В последнем выражении в точкеz=1 не имеет ни нулей, ни полюсов.

F(z) - z- преобразование входного воздействия. Для функции (21.4) z- преобразование определится формулой:

где - полиномстепени l, причем P(1)0.

Тогда зависимость (21.10) может быть представлена в следующем виде:

.

Из полученной формулы следует, что могут иметь место три случая:

1. r<l - порядок астатизма меньше степени полинома входного воздействия. Тогда , то есть ошибка неограниченно увеличивается с течением времени.

2. r=l- порядок астатизма равен степени полинома входного воздействия.

Тогда , то есть установившееся значение ошибки является постоянной величиной, отличной от нуля.

3. r>l- порядок астатизма больше степени полинома входного воздействия. Тогда , то есть в этом случае установившееся значение ошибки равно нулю.

Если система является статической (r=0), то установившаяся ошибка при отработке ступенчатого входного сигнала:

.

Величина представляет собой коэффициент передачи разомкнутой системы К. Нетрудно показать, что для случая экстраполятора нулевого порядка он совпадает со значением коэффициента передачи приведенной непрерывной части К_НЧ. Таким образом, установившаяся ошибка статической системы на постоянный сигнал определяется по выражению:

.

Для системы с астатизмом первого порядка (r=1) установившаяся ошибка на линейно- нарастающий сигнал f[kT]=a₀+a₁(kT) определяется по выражению:

или, аналогично предыдущему случаю: , гдеК=W₀(1)- коэффициент передачи системы по скорости.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ.

Допустим, входная функция g(t) имеет ограниченное число производных (до m- порядка). В этом случае ошибку системы можно определить следующим образом:

.

Раскладываем ПФ по ошибке в ряд по степеням р:

.

Перейдем к оригиналу:

.

Величины с₀, с₁, ..., с_m- коэффициенты ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам:

,

причем коэффициент с₀ отличен от нуля только в статических системах.

В системах с астатизмом первого порядка с₀=0, а коэффициент с₁ связан с добротностью по скорости соотношением: и т.д.

Если управляющее воздействие имеет ограниченное число производных, то рассматриваемый ряд будет иметь ограниченное число членов.