ЛЕКЦИЯ № 24

СИНТЕЗ СПЕЦИАЛЬНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

План лекции:

1. Синтез дискретных систем методом стандартных разностных уравнений.

2. Постановка задачи синтеза.

3. Реализация аналогового прототипа.

24.1Синтез дискретных систем методом стандартных разностных уравнений.

Применение импульсной или цифровой коррекции позволяет решать более широкий круг задач, нежели обеспечение желаемого вида ЧХ ИС

С помощью цифровых фильтров можно придавать системе новые свойства:

-обеспечивать желаемые переходные процессы с заданным временем регулирования и перерегулированием ;

-получать переходной процесс конечной длительности (апериодический переходной процесс);

-осуществлять желаемое распределение корней характеристического многочлена системы и тд

Рассмотрим более подробно некоторые из этих вопросов и начнем с синтеза дискретных систем методом стандартных разностных уравнений

Изложим этот метод применительно к простейшей дискретной системе, структурная схема которой приведена на рис.24.1.

Рис.24.1.

Здесь и - ПФ соответственно ОY и цифрового фильтра Будем считать эти передаточные функции дробно-рациональными, те

при этом степени многочленов и равны r и n соответственно Тогда ПФ замкнутой системы будет иметь вид:

где

-характеристический многочлен замкнутой системы

Уравнение в изображениях:

, (24.1)

где - Z-преобразование выходного, а - входного сигналов: и 

Свободное движение замкнутой системы при этом описывается уравнением:

(24.2)

Переходя в (24.2) к оригиналам, получим:

. (24.3)

При имеющихся начальных условиях , уравнение (24.3) однозначно определяет свободное движение системы

Поставим задачу синтеза следующим образом:

-при известной структуре системы и заданной ПФ ОУ параметры цифрового фильтра должны быть выбраны таким образом, чтобы разностное уравнение свободного движения системы в точности соответствовало некоторому стандартному разностному уравнению

Стандартные разностные уравнения выбираются в зависимости от показателей качества системы Методика их выбора, в частности изложена в работах Я.З.Ципкина

Например, стандартное разностное уравнение второго порядка имеет вид:

.

Коэффициенты и , соответствующие кратным корням Z и различным временам регулирования, приведены в таблице 24.1.

Таблице 24.1.

			Время регулирования
06	12	036	8 тактов
08	16	064	20 тактов

По требуемому времени регулирования выбираются численные значения коэффициентов стандартного уравнения

Синтез корректирующего устройства проводится в следующей последовательности:

1Составляется характеристическое уравнение:

, (24.4)

в нем полиномы A(z) и B(z) известны, а полиномы C(z) и E(z) нужно определить В общем случае имеем:

те количество неизвестных коэффициентов равно:

2Так как степень характеристического уравнения (24.2) равна n+r, то, исходя из требуемых показателей качества системы, выбираем стандартное разностное уравнение той же степени:

.

3Характеристическое уравнение (24.5) приравнивается стандартному характеристическому уравнению, те



Далее, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Z получим систему n+r уравнений относительно (2r+1) неизвестных коэффициентов  Заметим, что число уравнения n+r равно степени характеристического многочлена (H(z)), тк этот многочлен приведенный, он имеет единичный коэффициент при степени 

Чтобы полученная система уравнений имела однозначное решение, необходимо, чтобы число неизвестных было равно числу уравнений, те:

откуда :

.

Следовательно, порядок ЦКУ должен быть равен n-1, где n-порядок ОУ Решив полученную систему уравнений, мы получим ПФ КУ

К достоинствам указанного метода синтеза можно отнести возможность учета отдельных показателей качества системы на начальном этапе синтеза Его недостатком является то, что при определении ПФ D(z) не учитываются ограничения, накладываемые на собственную динамику фильтра, например устойчивость цифровой алгоритмической коррекции Системы, синтезированные методом стандартных разностных уравнений, часто обладают большим перерегулированием при обработке ступенчатого входного воздействия

24.2 Реализация аналогового прототипа с помощью цифрового фильтра.

Цифровые фильтры могут использоваться не только для коррекции импульсных, но и непрерывных систем, если передаточная функция КУ оказывается слишком сложной

Кроме того, в силу чисто конструктивных и эксплуатационных преимуществ может оказаться оправданным перевод на цифровое управление уже имеющихся непрерывных систем И, наконец, возможен вариант, когда систему синтезируют как непрерывную, заранее зная, что КУ будет реализовываться в цифровой форме Такой подход объясняется тем, что аппарат теории синтеза непрерывных автоматических систем более развит, чем аппарат синтеза дискретных систем Следует правда отметить, что несмотря на это обстоятельство, указанный подход, в общем случае, мало перспективен, так как при этом заведомо нельзя получить лучшие результаты, чем в непрерывном варианте

Перед тем, как рассмотреть общую задачу дискретизации аналогового прототипа, рассмотрим предварительно вопрос о реализации интегрирующих цифровых фильтров

Уравнение непрерывного интегратора (рис.24.2) имеет вид:

. (24.5)

Рис.24.2.

Применяя для вычисления интеграла метод прямоугольников (рис.24.3), получим:

(24.6)

Рис.24.3.

И тогда:

.

Полученному разностному уравнению соответствует ПФ:

(24.7)

.

Применяя вместо формулы прямоугольников, формулу трапеций, получим:

,

что соответствует z- ПФ:

(24.8)

Логарифмические частотные характеристики цифрового фильтра (24.8) представлены на рис.24.4 Откуда видно, что ЛАФЧХ непрерывного и дискретного КУ совпадают только в диапазоне низких частот

Рис.24.4.

Возможно использование и других, более точных формул интегрирования

Рассмотрим теперь задачу реализации непрерывного КУ, заданного своей ПФ :

с помощью цифрового фильтраОдин из способов ее решения состоит в аппроксимации непрерывного интегратора цифровым ПФ (24.6) или (24.7)

При этом исходная ПФ D(p) представляется в виде функций от отрицательных степеней p, те:

.

Выбирая для аппроксимации интегратора формулу (24.5) получим следующее соответствие между l-кратным интегрированием с помощью непрерывных и цифровых устройств:

(24.9)

Заменяя в выражении для ПФ в соответствии с (24.9) получим ПФ цифрового фильтра:

.

Заметим, что соответствие между непрерывным и цифровым интегрированием может быть получена в форме, отличной от (24.9)По сути дела различные формы зависимости (24.5) соответствуют различным методам численного интегрирования

ПРИМЕР.

Рассмотрим пример перехода от аналогового прототипа к цифровому фильтру Пусть

эта ПФ соответствует часто применяемому интегро-дифференцирующему фильтруТогда:

.

,

или

,

где Т-период квантования

В заключение отметим, что кроме перечисленных методов существуют и другие многочисленные методы синтеза КУ

160