43.Определение нормального преобразования.

В линейной алгебре, матрица линейного преобразования конечномерного пространства выбором базиса может быть приведена к жордановой нормальной форме. В этом виде матрица блочно-диагональна, а каждый блок является суммой скалярной матрицы и матрицы с единицами на первой наддиагонали. В частности, тем самым матрица разбивается в сумму коммутирующих диагональной и нильпотентной, благодаря чему становится простым вычисление функций (в частности, полиномов и экспонент) от этой матрицы.

44.Теорема о диагонализуемости нормального оператора.

теорема: нормализатор подмножества М группы G есть подгруппа в G. Для любого элемента а принадлежащего G справедливо равенство:

|[a]*|=|G:Ng(a)|

45.Определение симметричных (эрмитовы) и кососимметричных (косоэрмитовых) преобразования.

Матрица В называется эрмитово сопряженной к матрице А, если она получена из нее транспонированием (зер.кальным отражением от главной диагонали) с последующей заменой э.че-ментов комплексно-сопряженн.ыми, т. е. В = А, если bik = ati. Матрица эрмитова, если она эрмитово сопряжена самой себе: А = А, и косоэрмитова, если она удовлетворяет соотношению Л = -Л. Вещественная эрмитова матрица называется симметричной, а косоэрмитова -кососимметричной.

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A, что .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

A = A^T

Примеры

Кососимметричная (кососимметрическая) матрица — квадратная матрица А над полем k характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:

A^T = − A,

где A^T — транспонированная матрица.

Для n×n матрицы A это соотношение эквивалентно:

a_i,j = − a_j,i для всех ,

где a_i,j — элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы A.

.

46.Канонический вид матрицы симметричного преобразования.

пределение. Квадратичной формой от трех переменных называется функция

вида:

φ (х1, х2, х3) =а11 x12 + а22 x22+ а33 x32+ 2а12 x1x2 + 2а13 x1x3 + + 2 а23 x2x3 (1)

Определение. Матрицей квадратичной формы называется матрица:

причем а12 = a21, а13 = a31, a23= а32, то есть матрица симметрична.

47.Определение ортогонального (унитарного) преобразования.

У. п. представляет собой аналог (точнее, обобщение) поворота в евклидовой плоскости или вращения в трёхмерном евклидовом пространстве на случай n-мерного комплексного векторного пространства (См. Векторное пространство), т.к. оно сохраняет для преобразуемого вектора х с компонентами x1, x2,..., xn его длину

Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве .

Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой.

• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования является равенство

где  — сопряжённое, а  — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы является равенство равенство (*), где — транспонированная, а — обратная матрицы.

• Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю 1, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

• Определитель ортогонального преобразования равен 1 (собственное ортогональное преобразование) или − 1 (несобственное ортогональное преобразование).

• В произвольном n-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.

• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).