13.Невырожденная матрица
14.Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями строк называют:
перестановка местами любых двух строк матрицы;
умножение любой
строки матрицы на константу 
, 
;
прибавление к любой
строке матрицы другой строки, умноженной
на константу 
., 
.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.
Элементарные преобразования обратимы.
Обозначение 
указывает
на то, что матрица 
может
быть получена из 
путём
элементарных преобразований (или
наоборот).
15. Определение векторного пространства
Определение.
Пусть 
-
произвольное непустое множество,
элементы которого мы будем называть
векторами, K – поле, элементы которого
мы будем называть скалярами. Пусть на
множестве 
определена
внутренняя бинарная алгебраическая
операция, которую мы будем обозначать
знаком + и называть сложением
векторов. Пусть также на множестве 
определена
внешняя бинарная алгебраическая
операция, которую мы будем называть
умножением вектора на скаляр и обозначать
знаком умножения. Другими словами
определены два отображения:
;
.
Множество 
вместе
с этими двумя алгебраическими операциями
называется векторным пространством
над полем К, если выполняются следующие
аксиомы:
1. Сложение ассоциативно, т.е.
.
2. Существует нулевой вектор, т.е.
.
3. Для любого вектора существует противоположный ему:
.
4.
Сложение коммутативно, т.е. 
.
5. Умножение вектора на скаляр подчиняется закону ассоциативности, т.е.
,
где
произведение 
есть
произведение скаляров, определенное в
поле К.
6. 
,
где 1 - это единица поля К.
7. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов:
.
8.
Умножение вектора на скаляр дистрибутивно
относительно сложения скаляров: 
.
16.Линейная выражаемость вектора, линейная оболочка системы векторов.
Определение
1. Линейной оболочкой заданной конечной
совокупности 
элементов
векторного пространства 
n
над полем К называется множество всех
линейных комбинаций этих элементов с
коэффициентами из поля К. При этом сама
совокупность 
называется
порождающей системой данной линейной
оболочки, а сама линейная оболочка
обозначается символом 
.
Линейные оболочки обладают следующими свойствами:
.
Линейная оболочка элементов векторного
пространства 
n
является подпространством М векторного
пространства 
n.
Данный результат следует из определения линейной оболочки: сумма двух векторов из линейной оболочки будет принадлежать линейной оболочки (одна из линейных комбинаций), произведение вектора из линейной оболочки также будет принадлежать линейной оболочки.
.
Линейная оболочка может совпадать со
всем пространством Rn (если образующая
система является базисом в пространстве
Rn )
.
Линейная оболочка 
является
наименьшим подпространством, содержащим
элементы 
.
Все остальные подпространства могут
только содержать вектора порождающей
системы или их возможные комбинации.
.
Если какой-нибудь элемент из порождающей
системы элементов 
есть
линейная комбинация остальных элементов
этой системы, то его можно удалить из
порождающей системы, не изменив при
этом линейной оболочки.
.
Если координатная матрица системы
образующих 
имеет
ранг р, где 
,
то любая линейно независимая система 
,
является базисом линейной оболочки 
,
а сама линейная оболочка будет
подпространством размерности р, 
.
Примеры.
Если a, b, с – геометрические векторы, лежащие на одной прямой. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a).Здесь линейная оболочка является одномерным пространством, которое состоит из всех вектор, лежащих на прямой, причем вектор а –является базисом.
Пусть a, b, с – геометрические векторы, причем a, b не коллинеарны, с = а + b. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a,b).Здесь линейная оболочка является двумерным пространством, состоящем из всех векторов, компланарных с векторами a и b. Вектора а,b составляют базис в L(a,b). Любой вектор из L представляется в виде линейной комбинации векторов а и b.
Вообще, в конечномерном пространстве R всякое подпространство L
является линейной оболочкой некоторой системы векторов.