Размерность два
В
случае евклидовой плоскости всякое
собственное ортогональное преобразование
является поворотом на некоторый угол
,
и его матрица в любом ортонормированном
базисе имеет вид
Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид
Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид
то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:
48.Изометричные преобразования, их связь с унитарными (ортогональными).
Линейное преобразование w евклидова пространства (Lp,S) называется изометрическим тогда и только тогда если оно обратимо и сопряжонно к преобразованию w-¹
49.Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Подпространства L1 и L2 евклидова пространства (Lr,S) называются ортогональным, если для любых а1 принадлежащие L1 и а2 принадлежащие L2 выполняется соотношение S(а1, а2)=0. Многообразия лямда1+L1 и лямда2 + д2 называются ортогональными, если ортогональны порождающие их подпространства L1 и L2.
51.Определение билинейной формы.
Билинейная форма, форма (т. е. однородный многочлен) 2-й степени от двух групп переменных x1, x2,..., xn и y1, y2,...
Билинейной
формой (также: функционалом, функцией)
называется функция
или
(где
L — произвольное линейное
пространство, обычно
соответственно над
или
),
линейная по каждому из аргументов:
,
,
,
.
-
Билинейная форма (функционал)
называется
симметричной,
если для любых
выполнено
, -
билинейная форма (функционал)
называется
кососимметричной
(антисимметричной), если для любых
выполнено
Множество всех билинейных форм W(L,L), заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
52.Матричное представление билинейной формы.
Матрица Φef называется матрицей билинейной формы в паре базисов
Ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса и называется рангом билинейной формы.
Дефектом билинейной формы называется разность между размерностью пространства и рангом билинейной формы: d = n − r.
Билинейная форма называется невырожденной, если её дефект равен нулю
53.Определение квадратичной формы.
Квадратичной формой Q(x1,x2,x3…Xn) от n неизвестных x1,x2,x3…Xn называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.
Квадратичная форма — функция на векторном пространстве задаваемая однородным квадратным многочленом от координат.
Определения
Пусть
L есть векторное
пространство над полем K
и
—
базис в L.
Функция Q из L в K называется квадратичной формой если её можно представить в виде
где
,
а aij элементы поля K.
Связанные определения
-
Матрицу (aij) называют матрицей квадратичной формы в данном базисе.
-
В случае если характеристика поля K не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть aij = aji.
-
-
Для любой квадратичной формы Q существует единственная билинейная симметричная форма B, такая, что
Q(x) = B(x,x)
-
Такую билинейную форму B называют полярной к Q.
-
Полярная форма может быть вычислена по формуле
-
Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
-
Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.