- •1.Понятие комплексного числа, его вещественная и мнимая часть
- •2.Модуль и аргумент комплексного числа.
- •3. Геометрическая модель
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •4.Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
- •5. Сопряженное комплексное число
- •6.Определение матрицы над полем
- •Свойства обратной матрицы
- •13.Невырожденная матрица
- •14.Элементарные преобразования матрицы
- •15. Определение векторного пространства
- •16.Линейная выражаемость вектора, линейная оболочка системы векторов.
- •17.Подпространство
- •18.Линейно-зависимые и линейно-независимые системы векторов
- •Свойства
- •19.Базис системы векторов
- •20. Ранг системы векторов, размерность подпространства
- •21. Основные свойства базиса в конечномерном пространстве
- •22.Координаты вектора.
- •23. Формула преобразования координат вектора
- •24.Сумма и пересечение подпространств.
- •25Определение прямой суммы подпространств
- •27.Линейное преобразование над векторным пространством
- •28.Матрицы линейного преобразования
- •29.Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса
- •30.Собственные вектор и значения линейнго преобразования
- •40.Пространство линейных функционалов (сопряженное пространство).
- •Линейно-сопряжённое пространство — определение
- •Свойства
- •Обозначения
- •41.Определение преобразования, сопряженное к данному преобразованию
- •42.Матрица сопряженного преобразования.
- •43.Определение нормального преобразования.
- •44.Теорема о диагонализуемости нормального оператора.
- •45.Определение симметричных (эрмитовы) и кососимметричных (косоэрмитовых) преобразования.
- •Примеры
- •46.Канонический вид матрицы симметричного преобразования.
- •47.Определение ортогонального (унитарного) преобразования.
- •Свойства
- •Размерность два
- •48.Изометричные преобразования, их связь с унитарными (ортогональными).
- •49.Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
- •51.Определение билинейной формы.
- •52.Матричное представление билинейной формы.
- •53.Определение квадратичной формы.
- •Определения
- •Связанные определения
- •Свойства
- •54.Нормальный вид квадратичной формы над полем действительных чисел.
- •55.Закон инерции квадратичных форм.
- •56.Положительно и неотрицательно определенные квадратичные формы над полем действительных чисел.
- •57.Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (, ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
4.Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)
Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда
. (13)
Доказательство.
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Отсюда вытекает правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.
5. Сопряженное комплексное число
Если комплексное число z = x + iy, то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z * ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
-
(сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
-
-
-
-
Обобщение: , где p(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.
6.Определение матрицы над полем
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
7.единичная матрица
8,9.определитель матрицы над полем
10.определитель треугольной матрицы
11.определитель произведения матрицы
12.определени обратной матрицы
Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.
Свойства обратной матрицы
-
, где обозначает определитель.
-
для любых двух обратимых матриц A и B.
-
где * T обозначает транспонированную матрицу.
-
для любого коэффициента .
-
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A - 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
.
.
Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой.