40.Пространство линейных функционалов (сопряженное пространство).

Линейный функционал — функционал, обладающий свойством линейности по своему аргументу:

где  — линейный функционал, и  — функции из его области определения,  — число (константа).

Иными словами, это линейное отображение из (некоторого) пространства функций во множество чисел — чаще всего подразумеваемых вещественными, или, еще иначе, линейный оператор, действующий из (некоторого) пространства функций в (иногда в ).

Линейные функционалы играют особую роль в функциональном анализе.

• Как и вообще термин 'функционал', термин 'линейный функционал' употребляется и вообще для аргументов из векторных пространств — в смысле линейного отображения из какого-то векторного пространства в его пространство скаляров, то есть — в этом употреблении — его аргументом может быть не обязательно функция.

• Линейный функционал является аналогом оператора проецирования для бесконечномерных пространств (в частности, для пространств функций), а также применяется как обобщающий термин, покрывающий равно случаи конечномерных и бесконечномерных пространств.

• Одним из важнейших примеров линейного функционала служит скалярное произведение с фиксированной функцией (элементом пространства):

(может быть также использовано интегрирование с весовой функцией).

• Такие линейный функционалы, представляющие скалярное произведение с каждой из базисных функций полного набора, дают прямое преобразование Фурье.

• Лине́йным отображе́нием векторного пространства L_K над полем K в векторное пространство M_K (лине́йным опера́тором из L_K в M_K) над тем же полем K называется отображение

• ,

• удовлетворяющее условию линейности

• f(x + y) = f(x) + f(y),

• f(αx) = αf(x).

• для всех и .

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Линейно-сопряжённое пространство — определение

Пространство всех линейных функционалов на E образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E ^* .

Свойства

• В конечномерном случае сопряжённое пространство E ^* имеет ту же размерность, что и пространство E.

• Если пространство E евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между E и E ^* .

• Если пространство E гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между E и E ^* .

• В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому E ^{* *} , совпадает с E (точнее, существует канонический изоморфизм между E и E ^{* *} ).

Обозначения

В конечномерном случае обычно элементы пространства E обозначают вектором-столбцом, а элементы E ^* — вектором-строкой. В тензорном исчислении применяется обозначение x^k для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и x_k для элементов E ^* (нижний, или ковариантный индекс).

41.Определение преобразования, сопряженное к данному преобразованию

42.Матрица сопряженного преобразования.

Пространство всех линейных функционалов на E образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E ^* .

Матрица сопряженного преобразования A* получается из матрицы преобразования A в ортогональном базисе переходом к транспонированной и комплексно сопряженной матрице