28.Матрицы линейного преобразования

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

 

A= a₁₁+ a₂₁+…+ a_n1

A= a₁₂+ a₂₂+…+ a_n2

……………………………….

A= a_n1+ a_n2+…+ a_nn

Тогда матрица А =  называется матрицей линейного преобразования А.

29.Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса

Пусть  -- -мерное линейное пространство, и  -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть  -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть  -- линейное преобразование пространства , и  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

 

        Доказательство.     Пусть  -- произвольный вектор пространства ,  -- его образ, то есть . Пусть и  -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а ,  -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По  предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .     

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .         

        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

30.Собственные вектор и значения линейнго преобразования

Число  называется собственным значением матрицы A, если существует такой ненулевой вектор x,что Ax = x.

  Любой отличный от нуля вектор x, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором, отвечающим собственному значению .

Пусть L — линейное пространство над полем K,  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его E_λ. По определению,

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа m

31.характеристический многочлен

32.инвариантное подпространство

33.клеточно-диагональная матрица

34.1.жорданова форма

34.2.существование единственности жордановой формы

35.Определение евклидова пространства.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

- конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение ( ху )векторов х- (x₁, . . . , х _n )и y = (y₁, . . . , y _п )имеет вид (xy)=x₁y₁+. . .+х _n у _п. В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) (хх)/0, (хх)=0 лишь при x=0;

2) (ху) = (ух)*;3) (a ху) =a( ху);4) x(y+z) =(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение.

36.Определение унитарного пространства.

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением.

Эрмитовым скалярным произведением в линейном пространстве  над полем комплексных чисел называется функция  удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) (полуторалинейность скалярного произведения)

 и  справедливы равенства:

• 2) (эрмитовость скалярного произведения)

 справедливо равенство ,

• 3) (положительная определенность скалярного произведения)

 имеем  причем  только при .

Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная полуторалинейная эрмитова функция .

Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией .

37.Определение нормы вектора.

38.Понятие ортонормированного базиса.

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

            Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Ортогона́льность — понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением.

Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу.

Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.