24.Сумма и пересечение подпространств.

Пусть  и  — подпространства векторного пространства  над полем .

Предложение 1. Пересечение  подпространств  и  является векторным пространством.

Замечание 1. Объединение  пространств  и  не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.

Пример 1. Пусть , то есть множество векторов вида , где . Базисом этого пространства служат вектора  и . Положим  и  — линейные оболочки векторов  и , соответственно. Сумма векторов  не содержится в .

Определение 1. Суммой¹⁾ подпространств  и  называется наименьшее подпространство в , содержащее  и , то есть

.

Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:

Определение 1'. Сумма подпространств  в  — это наименьшее подпространство, содержащее все , то есть

.

Предложение 2. Пусть  и  — подпространства конечномерного векторного пространства . Тогда

.

25Определение прямой суммы подпространств

Определение 2. Пространство  называется прямой суммой²⁾ своих векторных подпространств , если каждый вектор может быть представлен одним и только одним способом в виде суммы

 где .

Прямая сумма векторных пространств обозначается через .

Замечание 2. Определенная таким образом прямая сумма называется внутренней.

Пример 2. Пусть  и подпространства  и  определены также, как в примере 1. Тогда сумма  является прямой, то есть .

Предложение 3. Сумма  является прямой тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:

1.  для ,

2. .

Следствие 1. Если , то сумма  является прямой тогда и только тогда, когда .

Предложение 4. Для любого -мерного подпространства  векторного пространства  размерности  найдется такое -мерное подпространство , что .

Пусть  и  — векторные пространства над полем .

Определение 3. Прямой суммой векторных пространств  и  называется декартово произведение  с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр, определенными следующей формулой:

.

Замечание 3. Определенная таким образом прямая сумма называется внешней. Непосредственной проверкой можно убедиться, что внешняя прямая сумма векторных пространств является векторным пространством.

Предложение 5. Внешняя прямая сумма  пространств  и  обладает следующим свойством: если  и  — линейные отображения, определенные условиями , , то  является внутренней прямой суммой подпространств  и . Таким образом, .

27.Линейное преобразование над векторным пространством

Определение линейного оператора

     Преобразование (оператор, отображение) f линейного пространства в себя (запись) называется линейным, если:

     

     Условия 1 и 2 равносильны соотношению

Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу  L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А L.

  Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов  L и  L и любого  верно:

A(+) = A+A

A() = A

 

  Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

 

  Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+;  0.

 

Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

  Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

  Определение: Если   только при  =  = … =  = 0, то векторы называются линейно независимыми.

 

  Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

 

  Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.