66. Понятие дробно-рациональной функции. Простейшие рациональные дроби.

Дробно-рациональные функции комплексного переменного в различных формах широко используют в ТАУ для представления передаточных функций и решения задач синтеза и анализа САУ.

Дробно-рациональная функция некоторого действительного или комплексного переменного имеет следующий вид: (1)

где - полиномы числителя и знаменателя, - действительные числа, - порядок числителя, - порядок знаменателя (всей дробно-рациональной функции функции), - для функций используемых в ТАУ.

Полиномы дробно-рациональной функции могут быть представлены в виде произведения биномов (разложение многочлена на сомножители), тогда функция может быть представлена в форме Боде (2), где - корни уравнения , - корни характеристического уравнения . Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1)

2) (n≥2);

3)

4) (n≥2).

Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p²/4-q < 0.

Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

67. Правильные и неправильные дроби. Процесс деления и выделения целой части для неправильной дроби.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной.

Например, дроби , и — правильные дроби, в то время как , , и — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Неправильная дробь, арифметическая дробь, числитель которой больше знаменателя (или равен ему), например ⁵/₃, ⁴/₂, ⁷/₇. Неправильная дробь можно представить, выделяя из неё целую часть, в виде смешанного числа, т. е. числа, имеющего целую и дробную части, например

Обратно, всякое смешанное число можно записать в виде Неправильная дробь, например

Операция выделения целой части может быть выполнена делением числителя на знаменатель.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо: 1) разделить с остатком числитель на знаменатель; 2) неполное частное будет целой частью; 3) остаток (если он есть) дает числитель, а делитель - знаменатель дробной части.

68. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби может быть представлен в виде (множителей вида может быть несколько), где — заданные числа

трехчленне имеет действительных корней.

Тогдапредставляется в виде суммы простейших дробей

1—3 типов:

где— неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к

Примеры:

1)

2)

3)

69. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью тригонометрических подстановок.

Интегрирование выражений R(sinx, cosx)

Пусть  R(u,v) — рациональная функция двух переменных. Положим u = sin< var>x  и   v = cos x . Получится функция f(x) = R(sin x, cos x) . Она имеет период 2π . Поэтому ее первообразные достаточно найти на интервале ( −π, π) .

Интеграл от функции R(sinx, cosx) с помощью подстановки

x = 2arctg t    t = tg x/2         x О (−π, π)     t О ( −∞, +∞) (1)

всегда приводится к интегралу от рациональной функции переменной t. Поэтому он выражается через элементарные функции .

Действительно, подставляя в подынтегральное выражение

sin x = sin(2arctg t) = , cos x = cos(2arctg t) =, dx = d(2arctg t) =

получаем R (sinx, cosx)  dx   =   R,,=

Подстановка (1) называется универсальной.

Интегрирование выражений  

Интегралы вида ∫ dx,

 где m и n — натуральные числа, находятся с использованием формул понижения степени:

, ,

Эти формулы могут применяться многократно, пока подынтегральное выражение содержит степени тригонометрических функций и их произведения.