- •69. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью тригонометрических подстановок.
- •70. Интегрирование простейших иррациональных функций.
- •71. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.
- •72. Некоторые интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях.
- •74. Интегральные суммы. Определение определенного интеграла. Интегральные суммы.
- •79. Геометрическое применение определенного интеграла.
- •80. Понятие о несобственных интегралах.
- •63. Непосредственное интегрирование.
- •64. Метод интегрирования с помощью замены.
- •65. Метод интегрирования по частям.
- •66. Понятие дробно-рациональной функции. Простейшие рациональные дроби.
- •67. Правильные и неправильные дроби. Процесс деления и выделения целой части для неправильной дроби.
- •68. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
- •69. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью тригонометрических подстановок.
- •III. Интегрирование выражений вида sin (αx) · sin (βx) , sin (αx) · cos (βx) , cos (αx) · cos (βx) .
- •Возрастание и убывание функции.
- •46Выпуклость и вогнутость функции.
- •Экстремумы функции.
- •46Асимптоты функции.
- •Виды асимптот графиков
- •Исследование функций и построение графиков.
- •61. Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
- •39Применение дифференциала для приближенных вычислений.
- •Теорема Ферма.
- •41Теорема Ролля.
- •Геометрический смысл:Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
- •Следствие
- •40Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Теорема Коши.
- •Доказательство
- •42Правило Лопиталя.
- •Примеры
- •36. Производная неявной функции.
- •45. Производная параметрически заданной функции.
- •37 Производные высших порядков.
- •38Определение дифференциала функций. Правила нахождения дифференциала.
- •38 Дифференциал сложной функции.
- •Инвариантность формы первого дифференциала.
- •37. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва и их классификации
- •27. Задачи, приводящие к понятию производной
- •28 Определение производной, ее геометрический и механический смысл
- •40. Касательная к кривой на плоскости
- •41. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •27. Определение предела функции.
- •Определения
- •28. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь между ними.
- •29. Свойства бесконечно малых величин.
- •30. Односторонние пределы
- •23. Основные теоремы о пределах.
- •32. Раскрытие неопределенностей
- •25. Первый замечательный предел
- •26. Второй замечательный предел
- •35. Приращение аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке
- •36. Определение непрерывности функции на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях
- •19. Угол между прямыми на плоскости.
- •21. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •22. Расстояние от прямой до точки на плоскости.
- •21???. Определение функции. Область определения, способы задания функции.
- •25. Свойства функций.
- •26. Последовательности, определение предела последовательности.
- •9. Условия совместности и определенности систем линейных уравнений.
- •19. Теорема Кронекера-Капелли.
- •11. Решение системы n линейных уравнений с m неизвестными.
- •14. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •1. Расстояние между двумя точками. Коллинеарные вектора.
- •17. Деление отрезка в данном отношении.
- •15Матрицы. Действия с матрицами.
- •4. Разложение определителей по элементам строк и столбцов.
- •16. Понятие обратной матрицы.
- •Свойства обратной матрицы
- •17. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений.
- •13 . Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
- •Решение системы находим по формулам Крамера
- •19. Понятие ранга матрицы. Его нахождение.
14. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получавшуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Этот метод опирается на: Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду).
Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду
1-2. Понятие вектора, действия с векторами.
Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.
Вектор обычно обозначается символом , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой
Операции над векторами
Определение: Суммой
двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .
В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник
Определение: Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е.
Разность получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что для любого вектора .
Определение: Произведением вектора на вещественное число λ (скаляр) называется вектор , такой, что
1) ;
2) вектор коллинеарен вектору ;
3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ < 0).