41. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

1°. Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точ­ке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Напишем тождество:

Δy=(Δy/Δx)*Δx

так как всегда считаем Δx ≠ 0. При стремлении Δx к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бес­конечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е. lim Δy = 0

lim Δy = 0

Δ x→0

Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.

2°, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:

y = |х|

(черт.) в точке x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.

3°. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.

Впервые отчетливое различие между понятием непре­рывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским

27. Определение предела функции.

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция имеет предел в точке если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Определения

• (определение по Коши, ε−δ—определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества Число называется пределом функции при стремящемся к , если

• (окрестностное определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества Число называется пределом функции при стремящемся к , если для любой окрестности точки существует проколотая окрестность точки такая, что

• (определение по Гейне) Пусть дана функция и — предельная точка множества Будем называть последовательностью Гейне, если и при Число называется пределом функции при стремящемся к тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем при

28. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь между ними.

Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то  — бесконечно большая последовательность

29. Свойства бесконечно малых величин.

 Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

 Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

 Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

 Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

30. Односторонние пределы

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Пусть задана числовая функция  и  — предельная точка области определения M.

• Число  называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

• Число  называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если