26. Последовательности, определение предела последовательности.

Последовательность — функция одного натурального переменного, обладающая следующим свойством: каково бы ни было принадлежащее области определения функции натуральное число , любое удовлетворяющее условию натуральное число также принадлежит области определения функции .

Иными словами, область определения такой функции — все натуральные числа, не превышающие некоторое число, либо вообще всё множество натуральных чисел. Областью значений функции может при этом быть произвольное множество X. Желая уточнить характер этой области, нередко говорят о «последовательности элементов множества X». Так, например, последовательность элементов множества действительных чисел называется числовой последовательностью. Часто под словом «последовательность» понимают именно её.^[1]

Значение обычно называют членом (элементом) последовательности , имеющим номер .

Упорядоченные наборы первых членов последовательности (рассматриваемые в предположении о существовании члена ) называют начальными отрезками последовательности.

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

9. Условия совместности и определенности систем линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

19. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x1 + x2 + … + xn

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

11. Решение системы n линейных уравнений с m неизвестными.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Существуют такие способы решения системы линейных уравнений:

- матричный метод

- правило Крамера

- метод Гаусса