Переходя от усилий к напряжениям, получим

. (2)

Решая совместно (1) и (2), найдем температурные напряжения

МПа.

Пример 39.

Требуется:

1.Определить допускаемое значение силы [P] из расчета на прочность стержней (рис.1,а), если допускаемое напряжение =16 кН/см². Брус АВ считать абсолютно жестким.

2. Определить напряжение в стержнях, если второй стержень нагрет на , при этом считать, что сила P отсутствует. Модуль упругости материала стержней , коэффициент линейного расширения .

3. Вычислить напряжения в стержнях при совместном действии допускаемой силы [P] и нагрева.

а) б) в)

Рис.1

Решение.

1.Применяя метод сечений, рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 1.б). В стержнях возникают продольные силы и , в шарнире А – опорные реакции и . Усилие считаем сжимающим, а - растягивающим. Если после решения усилия получится отрицательным, то его направление следует поменять на противоположное.

Для решения задачи не надо определять реакции в шарнире А, потому что в качестве условия равновесия составим следующее уравнение:

(1)

Имеем следующее уравнение статики

(2)

Из уравнения (2) следует, что рассматриваемая система один раз статически не определимая, поэтому необходимо составить уравнение перемещений.

После приложения нагрузки брус АВ останется прямым и займет положение АВ₁ (рис.1, в). При этом перемещение шарниров В и С произойдет по дугам радиусов АВ и АС. Ввиду малости деформаций стержней эти дуги можно заменить прямыми ВВ₁ и СС₁. Точки крепления стержней с брусом АВ получат перемещения по дугам радиусов . Эти дуги также заменяются отрезками касательных (рис.1, в).

Так как стержень является наклонным, то получаем

Из подобия треугольников АВВ₁ и АСС₁ имеем

Используя закон Гука, получаем:

(3)

Решая систему уравнений (2) и (3), находим усилия в стержнях

Напряжения в стержнях равны

Сравнивая полученные напряжения, приходим к выводу, что и .

Условие прочности системы имеет вид:

2. При нагревании второго стержня на в нем возникает сжимающее усилие (рис.2, а), так как брус АВ, скрепленный с первым стержнем, будет препятствовать свободному температурному удлинению (рис. 2, б).

а) б)

Рис.2

При температурном удлинении второй стержень, воздействуя на брус АВ, вызывает сжатие первого стержня. Составим уравнение равновесия

(4)

Уравнение перемещений имеет вид:

(5)

Первый стержень не нагревается, поэтому его деформация Второй стержень испытывает воздействия температуры и его деформация такова:

Подставляя эти выражения в (5), получим:

или (6)

Решая систему уравнений (4) и (6), находим усилия

.

Напряжения в поперечных сечениях стержней

3. Напряжения в стержнях от действия силовой нагрузки [Р]=29,8 кН будут равны

Напряжения при совместном действии силы [Р] и нагрева определяются алгебраическим суммированием результатов вычисления напряжений

Напряжение в первом стержне .

Определим процент перегрузки.

Перегрузка допускается не более 5%. Стержень перегружен.

Пример 40.

Стержень переменного сечения с заданным соотношением площадей поперечного сечения , выполненный из разного материала, загружен силой F (см. рис. 1). Между правым концом стержня и стенкой существует зазор .

Требуется:

1) определить продольные силы, напряжения на каждом участке и проверить прочность стержня от действия заданной нагрузки F.

2) найти дополнительные напряжения, возникающие в стержне при его нагревании на температуру и проверить прочность стержня от температурного воздействия.

Рис.1

Решение.

I. Определение напряжений от заданной нагрузки

Прежде всего надо убедиться, что заданная система является статически неопределимой. Найдем абсолютную деформацию стержня, показанного на рисунке, предполагая сначала, что правая стенка отсутствует. Тогда, используя метод сечений, определим продольные силы на трех участках стержня:

- на первом участке длиной ;

- на втором и третьем участках .

Полное удлинение стержня, равное в общем случае , в данной задаче равно удлинению первого участка и, следовательно, по

.

Если под действием нагрузки абсолютная деформация стержня будет больше заданного зазора , то стержень упрется правым концом в стенку и возникнут опорные реакции как в левом защемлении (), так и в правом опорном закреплении () (рис. 2, а). Для заданной системы можно составить только одно независимое уравнение статики . Таким образом, две неизвестные опорные реакции нельзя найти из одного уравнения, и система в процессе деформации становится один раз статически неопределимой.

Рис.2

Для раскрытия статической неопределимости используем расчет по упругой стадии деформаций и запишем три группы уравнений:

1) уравнения равновесия. Из них получим:

- для всего стержня ;

- для отсеченных частей стержня Заметим, что при составлении уравнений равновесия отсеченных частей стержня сделано предположение, что первая и вторая части стержня растянуты, а третья часть – сжата;

2) уравнение совместности деформаций, смысл которого в данной задаче очень простой: полная деформация стержня равна заданному зазору. При составлении уравнения совместности деформаций важно, чтобы знаки абсолютных деформаций соответствовали сделанным предположениям о направлении усилий. В нашем примере ;

3) физические уравнения

.

Решив полученную систему уравнений, найдем продольные силы, а затем напряжения в разных частях стержня и построим эпюры их распределения по длине стержня (рис. 2, б). Если знак усилия после решения системы уравнений получился отрицательным, это означает, что сделанное предположение о направлении продольной силы не подтвердилось. В рассмотренной задаче отрицательным должно получиться усилие , т. е. второй участок длиной b не растянут, а сжат. Знаки N и s на эпюрах ставим в соответствии с правилом знаков для продольной силы.

После определения напряжений производим проверку прочности по формулам или так же, как в статически определимой системе. Если условие прочности на каком-нибудь участке стержня не будет выполняться, измените значение F так, чтобы условие прочности соблюдалось.

II. Определение температурных напряжений

Найдем удлинение стержня от температурного воздействия и убедимся в том, что это удлинение больше заданного зазора .

.

Если , то система является один раз статически неопределимой и раскрытие статической неопределимости производим по той же схеме, что и в предыдущей части задачи:

Из уравнений равновесия следует, что и . Здесь в соответствии с рис. 3, а предполагаем, что стержень всюду сжат. (Силу F при определении температурных напряжений считаем равной нулю.)

Рис.3

Уравнение совместности деформации показывает, что абсолютная деформация стержня, равная разности удлинения стержня от температурного воздействия и укорочения от действия сжимающих продольных сил не может быть больше заданного зазора :

,

где .

Укорочение стержня от действия продольных сил найдем, используя физические уравнения (закон Гука):

и .

После решения полученной системы уравнений найдем усилия в обеих частях стержня. Полученный положительный знак должен подтвердить предположение о том, что стержень сжат. Строим эпюры продольной силы и напряжений (рис. 3, б) от температурного воздействия.

Проверяем прочность стержня и в случае невыполнения условия прочности на каком-нибудь участке находим новое значение , при котором условие прочности будет соблюдаться на всех участках.

Пример 41.

Для схемы, изображенной на рис.1 необходимо:

Рис.1

1) Определить площадь поперечного сечения стержней при действии силы F и подобрать угловую равнополочную или неравнополочную сталь, при условии, что поперечное сечение одного из стержней в два раза больше, чем другого.

2) Определить напряжения в стержнях:

- от действия силы F;

- от неточности монтажа, если считать, что один из стержней выполнен короче на величину ;

- от изменения температуры.

3) Определить суммарные напряжения от действия внешних сил, от неточности монтажа и от изменения температуры.

4) Подсчитать недонапряжения или перенапряжения в стержнях.

Дано: F=100 кН, а = 1,2м, b = 0,8м, = 0,2мм, = 20°С, Е = 2×10⁵МПа, = 125×10^-71/гр, [] = 100 МПа.

Решение.

Определим необходимую по условию прочности площадь поперечного сечения стержней.

1) Находим степень статической неопределимости.

2.1) Статическая сторона задачи

; ;

; ;

; .

2.2) Геометрическая сторона задачи (рис.2)

~ Þ

; ; ;

2.3) Физическая сторона задачи

;

Рис.2

2.4) Синтез

Подставим выражения, полученные в физической стороне задачи, в выражения из геометрической стороны задачи и приведем подобные.

Решим совместно систему уравнений, составленную из полученного выражения для N₁ и уравнения моментов из статической стороны задачи.

2.5) Определяем площадь поперечного сечения стержней

Определим, какой из стержней нагружен сильнее.

;

Второй стержень является более нагруженным, так как , поэтому запишем для него условие прочности и определим площадь поперечного сечения.

Подбираем по справочнику угловую равнополочную сталь № 70´5 ГОСТ8509-86 (S_Т = 6,86 см²).

2.6) Определяем напряжения в стержнях от внешних сил

Первый стержень работает на сжатие, а второй – на растяжение.

3) Определим напряжения в стержнях от неточности монтажа

Будем считать, что короткий стержень выполнен короче на величину (см.рис.3).

Рис.3

3.1) Статическая сторона задачи

; ;

; ;

; .

3.2) Геометрическая сторона задачи

~ Þ

; ; ;

3.3) Физическая сторона задачи

;

3.4) Синтез

Подставим в полученное выражение данные из условия задачи и получим:

3.5) Определим напряжения в стержнях

Оба стержня работают на растяжение.

4) Определим напряжения в стержнях от изменения температуры (см. рис. 4).

Рис.4

Будем считать, что температура системы повышается. Тогда оба стержня будут удлиняться от повышения температуры. При удлинении стержней, они будут воздействовать друг на друга через недеформируемый стержень АС. Вследствие этого, в обоих стержнях будут возникать дополнительные силы сжатия.

4.1) Статическая сторона задачи

; ;

; ;

; .

4.2) Геометрическая сторона задачи

~ Þ

; ; ;

4.3) Физическая сторона задачи

;

.

4.4) Синтез

Решив уравнение, получим .

4.5) Определим напряжения в стержнях

Оба стержня работают на сжатие.

5) Определим суммарные напряжения в стержнях

6) Найдем недонапряжения или перенапряжения в стержнях

- недонапряжение

- недонапряжение.

Пример 42.

Абсолютно жесткий брус АЕ (рис. 1, а), имеющий одну шар­нирно неподвижную опору С и прикрепленный в точках В, Д и Е тремя тягами из упруго-пластического материала, нагружен пере­менной по величине силой Р. Площадь поперечного сечения тяг F₁, F₂, F₃, модуль упругости и предел текучести материала тяг  МПа,  = 240 МПа. Допускаемое напряжение , где коэффициент запаса прочности n принят равным 1,5.

Требуется:

1. Найти усилия в тягах, реакцию опоры С и угловое смещение (поворот бруса вокруг точки С) как функции от величины силы Р;

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее вели­чину, при которой напряжение в одной из тяг достигает предела текучести;

3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, реакцию опоры С и соответствующий этому предель­ному состоянию угол;

4. Найти величины несущей способности конструкции из рас­четов по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагру­зок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопо­ставить результаты и сделать вывод.

Дано: м²; м²; м²; a = 2 м; b = 1 м; c = 1 м; d = 2 м; l₁ = 1 м; l₂ = 1 м; l₃ = 1,2 м.

Решение.

1. Найти усилия в тягах, реакции в опоре С и угловое смещение (поворот бруса вокруг т. С), как функции от величины силы Р. Для определения величин усилий в тягах в зависимости от Р применим метод сечений. Сделав сечение по всем тягам и приложив в местах сечений усилия N₁, N₂ и N₃, возникающие в тягах, рассмотрим равновесие остав­шейся части, нагруженной продольными усилиями в тягах N₁, N₂ и N₃ реакциями опоры С (R_C и H_C) и силой Р (рис. 1, б). Составив уравнения равновесия статики для оставшейся части, получим:

1) , Н_C = 0; (1)

2) , -Р + N₁ + R_C - N₂ - N₃ = 0; (2)

3) , . (3)

Рис.1

Из уравнений равновесия видно, что система дважды стати­чески неопределима, т.к. два уравнения равновесия (2) и (3) содержат в своем составе четыре неизвестных. Поэтому для реше­ния задачи необходимо составить два дополнительных уравнения совместности деформаций, раскрывающих статическую неопреде­лимость системы.

Для составления дополнительных уравнений рассмотрим де­формированное состояние системы (рис. 1, в), имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации тяг останет­ся прямолинейным.

Эти дополнительные уравнения совместности деформаций по­лучим из подобия треугольников ВСВ₁=DCD₁ и BCB₁=ECE₁:

    и    .

Решая эти уравнения, получим:

(4)

. (5)

Выразив деформации тяг по формуле определения абсолютного удлинения:

и подставив эти значения в уравнения (4) и (5), получим:

(6)

. (7)

Подставив найденные значения N₂ и N₃ в уравнение (3) оп­ределяем величину N₁ :

;     N₁=0,3333P.

Зная N₁, из уравнений (6) и (7), находим N₂ и N₃:

.

Опорную реакцию R_C определяем из уравнения (2), подста­вив найденные значения N₁, N₂ и N₃:

-P + 0,333P + R_C - 0,167P - 0,833P = 0;     R_C = 1,667P.

После определения величин усилий в тягах N₁, N₂, N₃ и реак­ции R_C необходимо проверить правильность их вычисления. Для этого составим уравнение равновесия статики :

-N₁×a - R_C (a + b) + N₂ (a + b + c) + N₃ (a + b + c + d)  = 0;

     0 = 0.

Следовательно, N₁, N₂, N₃ и R_C определены правиль­но.

Угловое смещение бруса (угол ), ввиду его малости, находим как тангенс угла наклона бруса АЕ :

[рад].

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее величину, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести. Для вы­числения величины Р, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести s_T , определим нормальные напряже­ния, возникающие в тягах, учитывая то, что тяги работают на рас­тяжение:

Полученные величины напряжений показывают, что в тяге 3 напряжение достигнет предела текучести раньше, чем в тягах 1 и 2, так как и . Поэтому, приравняв напряжение пре­делу текучести  , определим величину Р, при которой нормальное напряжение в тяге 3 достигнет предела текучести  :

кПа,

откуда

кН.

3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, ре­акцию опоры С и соответствующий этому пре­дельному состоянию угол. При исчерпании несущей спо­собности всех тяг напряжения в них достигнут предела текучести  . В этом случае предельные усилия, которые возникнут в тягах, будут равны:

кH;

кH;

кH.

Предельную величину внешней нагрузки, соответствующую ис­черпанию несущей способности, найдем из уравнения (3), под­ставив в него предельные значения , , :

; кН.

Предельную величину реакции определяем из уравнения (2):

-72 + 48 +- 24 - 48 = 0;  = 96 кН.

При определении наименьшего угла поворота бруса, соответст­вующего предельному состоянию системы, необходимо знать, в какой из тяг текучесть наступит позже.

Полученные величины напряжений (см. п. 2) показывают, что в тягах 1 и 2 напряжения достигнут предела текучести одновремен­но, но позже, чем в тяге 3. Поэтому предельный угол поворота бруса определяем для момента перехода материала тяг 1 и 2 в плас­тическое состояние:

рад,

или

рад.

4. Найти несущую способность из расчетов по методам допускаемых напряжений и разруша­ющих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и сделать вывод. Из предыдущих расчетов (см. п. 2) видно, что текучесть материала раньше появится в тяге 3, т.к. и . Поэтому для определения величины грузоподъемности из расчета по методу допускаемых напряжений приравниваем напря­жение в этой тяге к допускаемому напряжению:

кПа,     

,

кH.

Несущая способность конструкции из расчета по методу раз­рушающих нагрузок получим путем деления ранее полученного значения P_ПР = 72 кН на коэффициент запаса n₁ = 1,5:

кH.

Сравнивая полученные величины, видим, что несущая спо­собность из расчета по методу разрушающих нагрузок больше несу­щей способности из расчета по методу допускаемых напряжений на , что подтверждает известное положение о том, что метод допускаемых напряжений, в отличии от метода разрушающих нагрузок, не позволяет определить полную несущую способность системы. Это объясняется тем, что для статически неопределимых систем, переход одного элемента в пластическую стадию работы, как правило, не означает наступления предель­ного состояния. Переход системы в предельное состояние отождествляется с превращением ее из неизменяемой в геометри­чески изменяемую систему. Известно, что в статически неопреде­лимой системе разрушение “лишних связей” не превращает ее в геометрически изменяемую. Так как реальные сооружения чаще всего представляют собой многократно статически неопределимые системы, материал которых обладает свойством пластичности, по­этому метод предельного равновесия имеет важное значение для раскрытия истинных резервов их несущей способности.

Задачи для самостоятельного решения

Задача №1

Стяжка диаметром 25 мм растянута усилием F (см. рисунок), вызывающим в ней напряжение 100 МПа. Чему должен равняться диаметр шайбы d, чтобы давление, передаваемое ею на стену, не превышало 1,4 МПа?

Ответ: 213 мм

Задача № 2

Медная проволока диаметром 1,2 мм удлиняется на 0,25 мм под нагрузкой 90 Н. Определить длину проволоки.

Ответ: 314 мм.

Задача № 3

Стержень из малоуглеродистой стали шириной 0,3 м и толщиной 0,015 м ослаблен заклепочным отверстием диаметром 0,023 м, расположенным на оси стержня. Какое растягивающее усилие этот стержень может выдержать, если допускаемое напряжение равно 90 МПа?

Ответ: 374 кН.

Задача № 4

Определить напряжения во всех участках изображенного на рисунке стального стержня и полную его деформацию, если поперечное сечение равно 1∙10^-3 м².

Ответ: на левом участке =40 МПа; на среднем = 20 МПа; на правом = -20 МПа; = 0.

Задача № 5

Стальная полоса (см. рисунок) растянута продольными силами. Она ослаблена круглыми заклепочными отверстиями, как показано на рисунке. Определить среднюю величину напряжений в опасном сечении.

Ответ: 100 МПа.

Задача № 6

К нижнему концу троса, закрепленного верхним концом, подвешен груз F = 75 кН. Трос составлен из проволок диаметром d = 2 мм. Допускаемое напряжение для материала троса равно [] = 300 МПа. Из какого количества проволок должен быть составлен трос?

Ответ: 80 проволок.

Задача № 7

Определить напряжения в обеих частях изображенного на рисунке стержня, а также полное его удлинение. Материал стержня — сталь, сечение круглое.

Ответ: в левой части =127,6 МПа; в правой =31,9 МПа; = 0,575 мм.

Задача № 8

Жесткий стержень АВ (см. рисунок) нагружен силой F и поддерживается стальной тягой DС круглого поперечного сечения диаметром 20 мм. Определить наибольшую допустимую нагрузку F и опускание точки В. Допускаемое напряжение для материала стержня СD равно 160 МПа.

Ответ: F = 12 кН, = 4,17 мм.

Задача № 9

Вычислить внутренние усилия и напряжения в стержнях кронштейна (см. рис.), если нагрузка F = 35 кН. Стальная верхняя тяга круглого сечения диаметром d = 25 мм, нижний стержень — из дерева, квадратного сечения 70 х 70 мм. Стороны кронштейна: а = 1000 мм, b =557 мм.

Ответ: N₁ = 72 кН, N₂ = 62,4 кН, = 146,8 МПа, = -12,7 МПа.

Задача № 10

Определить напряжение в шатуне автомобильного двигателя, поперечное сечение I – I которого (см. рис.) имеет форму двутавра, и проверить прочность при допускаемом напряжении [] = 140 МПа. Найти число шпилек n для крепления головки цилиндра, если внутренний диаметр резьбы d_В = 8 мм, []=80 МПа. Диаметр цилиндра D = 80 мм, давление газов р = 3,6 МПа.

Ответ. Напряжение = 144 МПа, = 2,85%, что допустимо, число шпилек п = 5.

Задача № 11

Определить допускаемую нагрузку для стального листа толщиной t=10 мм, если допускаемое напряжение [] = 100 МПа (см.рис.), размеры в миллиметрах.

Ответ. Допускаемая нагрузка [F]= 140 кН.

Задача № 12

Стержень, жестко защемленный двумя концами (см. рисунок), имеет площадь поперечного сечения верхней части 10 см² и нижней части 40 см². Определить напряжения в каждой части стержня.

Ответ: = 50 МПа, = —100 МПа.

Задача № 13

Жесткая балка поддерживается двумя подвесками, как показано на рисунке. Первая подвеска должна иметь площадь поперечного сечения, в два раза большую, чем вторая; материал подвесок - сталь с допускаемым напряжением [] = 160 МПа. Подобрать безопасные размеры сечения подвесок.

Ответ: F₁ = 7,5 см², F₂ = 3,75 см².

Задача № 14

Жесткий брус (см. рис.), кроме шарнирной опоры, поддерживается еще двумя стальными тягами одинакового поперечного сечения площадью 40 см². После установки тяг их температура повысилась на = + 20°. Определить напряжения в тягах.

Ответ: = - 47 МПа; = - 54,2 МПа.

Задача № 15

Стальной болт пропущен сквозь медную трубку, как показано на рисунке. Шаг нарезки болта равен 3 мм. Какие напряжения возникают в болте и трубке при завинчивании гайки на 1/4 оборота?

Ответ: =127,4 МПа; =- 36,4 МПа.

Задача № 16

Стержень с площадью поперечного сечения A =100 см² защемлен верхним концом и нагружен, как показано на рисунке. Между нижним его концом и неподатливой плоскостью до нагружения имеется зазор = 0,02 мм. Найти по способу допускаемых нагрузок наибольшее безопасное значение силы F при [] = 100 МПа.

Ответ: 2000 кН.

Задача № 17

Жесткая балка (см. рисунок) подвешена на двух стержнях. Площадь сечения первого стержня 10 см², второго стержня 15 см², пределы текучести материалов стержней соответственно равны =260 МПа, и =150 МПа. Определить по способу допускаемых нагрузок величину безопасной нагрузки F, если коэффициент запаса равен 2.

Ответ: 252 кН.

Задача № 18

Определить допускаемую нагрузку [F] для стального стержня, если допускаемое напряжение [] =120 МПа как для растяжения, так и для сжатия. Найти перемещение сечения I—I, если ℓ₁ = ℓ₃ =2ℓ₂, а ℓ₂ =0,4 м, S₁ = S₃ = 1,5S₂, S₂ = 10 см² (см. рис.).

Ответ. Нагрузка [Р]=110 кН, _{I - I} = 0, 44 мм.

Задача № 19

Определить напряжение в точке О, а также величину растягивающей силы F, зная напряжение в точке К, равное 100 МПа.

Задача № 20

При растяжении стержня силой F = 800 кН в точке К с координатами Х_к = 4 см и У_к = 3 см возникает напряжение 160 МПа. Чему равен диаметр стержня?

Задача № 21

Считая заданными [], A, a определить допустимое значение нагрузки [F].

Задача № 22

Считая заданными [], a, F определить площадь поперечного сечения стержня ВС.

Задача № 23

Определить качественно без вычислений перемещение узла В.

Задача № 24

В результате некоторого внешнего воздействия длины стержней 1 и 2 изменились на и соответственно. Определить ориентировочно полное перемещение узла В.

Задача № 25

Как изменится абсолютное удлинение бруса, если:

а) увеличить линейные размеры b и l в 2 раза;

б) увеличить длину l в 2 раза и заменить материал (например, медь на сталь);

в) уменьшить размер b в 2 раза, длину l в 4 раза и заменить материал (например, сталь на титан);

г) уменьшить в 3 раза линейные размеры b, l и силу F?

Задача № 26

Вертикально подвешенный резиновый жгут под действием некоторого груза, прикрепленного к нижнему свободному концу, удлиняется на 16 см. Затем он дважды складывается пополам и к сложенному таким образом жгуту прикладывается тот же самый груз. Насколько удлинится жгут в этом случае?

Задача № 27

Жесткость стального провода равна 10 Н/мм. Чему равно удлинение троса, сплетенного из 10 таких проводов, если к концу троса подвесить груз весом 2 кН?

Задача № 28

При буксировке автомобиля массы 1т результирующая сил сопротивления и трения в 50 раз меньше веса автомобиля. Чему равна жесткость троса, если при равномерном движении автомобиля трос удлиняется на 20 мм?

Задача № 29

Определить ширину фундамента здания, учитывая, что среднее напряжение в грунте не должно превышать 0,5 МПа. Общий вес фундамента, стены и полезной нагрузки на 1 м длины здания равен 500 кН/м.

Задача № 30

Какую нагрузку сможет выдержать короткая гранитная колонна диаметром 80 см, если допускаемое напряжение на сжатие гранита равно [] = 4 МПа?

Задача № 31

Стальной стержень кругового поперечного сечения растягивается силой 100кН. При каком наименьшем диаметре стержня относительное удлинение не превышает 5·10^-4 , а напряжение – 120 МПа?

Задача № 32

При какой минимальной базе тензометра с коэффициентом увеличения 1000 и точностью отсчета 0,1 мм можно обеспечить измерение напряжений в стальной детали с точностью не менее 1 МПа?

Задача № 33

Стальной стержень кругового поперечного сечения диаметром 30 мм растянут на испытательной машине силой 120 кН. Его продольное удлинение, замеренное на длине 50 мм, составило 42 мкм, а изменение диаметра – 7 мкм. Определить модуль упругости и коэффициент Пуассона материала стержня.

Задача № 34

Для установки тяжелой колонны в вертикальное положение требуется поднять ее левый конец. К какой точке колонны нужно прикрепить трос, чтобы напряжения в нем были минимальными? Выполнить проверку прочности троса при следующих данных: вес колонны G = 200 кН, ее длина l = 16 м, высота опоры Н = 4 м, площадь поперечного сечения троса А = 24 см² , допускаемое напряжение [] =170 МПа.

Задача № 35

На конструкцию, состоящую из двух стержней, действует вертикальная сила F. Оба стержня изготовлены из одного и того же материала. Длина l горизонтального стержня СД остается постоянной, а угол α может изменяться за счет перемещения точки В по вертикали и соответствующего изменения длины стержня ВС. Полагая, что допускаемые напряжения при растяжении и сжатии одинаковы и принимая напряжения в обоих стержнях равными допускаемым, найти угол , при котором вес конструкции минимален.

Задача № 36

Для заданных брусьев построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений. Определить наибольшие напряжения, перемещения и запасы по текучести, полагая F = qu = 10 кН, А = 2 см² , а = 20 см, = 200 МПа, Е = 100 ГПа.

Задача № 37

Составить уравнения совместимости деформаций для заданных стержневых систем

Задача № 38

Как изменится усилие в стержне 1, если не меняя всех прочих условий:

а) изменить материал стержня (сталь на медь, сталь на титан, медь на титан);

б) изменить сечение стержня (увеличить площадь сечения вдвое, уменьшить сечение вдвое) ?

Задача № 39

При определении температурных усилий в стержневой системе было принято, что монтаж производится при температуре плюс 10ºС, а температура окружающей среды колеблется от минус 40ºС до плюс 40ºС. Наибольшее усилие в стержне 2 по расчету сказались равными 50 кН. На практике монтаж системы произвели при температуре плюс 20ºС. На сколько фактическое наибольшее усилие в стержне 2 будет отличаться от расчетного ?

Задача № 40

При определении сборочных усилий в стержневой системе было принято, что стержень 1 короче проектной длины на величину = 0,3 мм. При этом наибольшее усилие в системе оказалось равным 20 кН. На практике фактическая неточность оказалась равной = 0,45 мм. Спрашивается, на сколько фактическое максимальное усилие будет отличаться от расчетного ?

Задача № 41

Сравнить температурные напряжения, возникающие в трех стержнях, заделанных в абсолютно неподатливые стенки, при одинаковом перепаде температур.

Задача № 42

Трещины в асфальтированных дорогах возникают чаще всего зимой. Почему?

Задача № 43

Чтобы стакан не лопнул при наполнении его кипятком, рекомендуется в него предварительно опустить чайную ложку и лить кипяток на ложку. какую роль играет в данном случае чайная ложка?

Задача № 44

На некоторых железных дорогах сваривают рельсы в одну непрерывную нитку. Спрашивается, в каком интервале температур должна быть произведена сварка, чтобы при колебаниях температур от минус 40^оС до плюс 40^оС наибольшие сжимающие напряжения не превышали 75 МПа, а наибольшие растягивающие – 150 МПа, если Е=200 ГПа, =125^.10^-7?

Задача № 45

Какие напряжения возникнут в стержнях при нагревании их на одну и ту же температуру =80 ^оС, если =12,5^.10^-6, Е=200 ГПа?

Задача № 46

Жесткий брус ВД должен быть подвешен на трех одинаковых стержнях и воспринимать нагрузку F. Однако один из стержней изготовили короче проектной длины на величину . Где этот короткий стержень целесообразно установить: в центре или на краю? Обоснуйте ваше заключение, считая заданными , А, Е и F.

Задача № 47

Определить, при каком значении размера а обеспечивается равнопрочность бруса, если предел текучести материала при растяжении составляет две трети предела текучести при сжатии.

Задача № 48

Брус, жестко закрепленный по концам, нагрет по всей длине на ⁰С и нагружен силой F. Считая заданными размеры бруса, F и A, определить, при каком значении силы F сечение mn остается неподвижным. выполнить количественную оценку при следующих данных: А = 8 см², =12,5^.10^-6, =10 ^оС, Е=200 ГПа.

Задача № 49

Эпюры N_z для стержней, представленных на рисунке предлагается построить самостоятельно. Для проверки тут же дается решение.

Задача № 50

Подобрать диаметр бруса, если F₁=3 кН; F₂=5 Кн; F₃=16кН и =140 МПа.

Задача № 51

Силу перенести по линии её действия из точки “B” в точку “C”. Что при этом изменится ?

Задача № 52

Найти продольные силы N на участках стержня, построить эпюру, вычислить напряжения во всех участках представленного на рисунке стального стержня и полную его деформацию. Сила Р = 20 кН, а = 1 м, площадь поперечного сечения стержня F=5 см².

 

Ответ: На участках слева на право = 80 МПа, = 0, = - 40 Мпа, = 0.

Задача № 53

К двум стержням, угол между которыми 60 градусов, подвешен груз Р, как изображено на рисунке. Стержень 1 круглого поперечного сечения диаметром 30 мм с допускаемым напряжением материала 160 МПа, и стержень 2 тоже круглого поперечного сечения, но диаметром 40 мм и с допускаемым напряжением материала 60 МПа. Какой наибольший груз Р может выдержать эта конструкция?

Ответ: Наибольший допускаемый груз, которую выдерживает конструкция Р=130 кН.

 

Задача № 54

Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса постоянного поперечного сечения с А = 10 см². На брус действует внешняя распределенная осевая нагрузка q = 5 кН/м и продольные сосредоточенные силы F= 15 кН (рис. а).

Ответ: эпюры нормальных сил и напряжений представлены на рис. б, в.

Задача № 55

Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса постоянного поперечного сечения с А = 10 см². На брус действует внешняя распределенная осевая нагрузка q = 5 кН/м и продольные сосредоточенные силы F= 15кН (рис. а).

Ответ: правильные результаты показаны на рис. б, в.

Задача № 56

Дан прямой стальной стержень кусочно - постоянного сечения, для которого a = 0,4 м, а площади поперечных сечений указаны на рис. а.

Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений. Найти сечение, где действует .

Ответ: эпюры нормальных сил и нормальных напряжений при учете только собственного веса стального стержня представлены на рис. б, в ,= 1,3345 кг/см² в точке С участка с площадью поперечного сечения А₂.

Задача № 57

Проверить прочность стального стержня, изображенного на рис. а. Материал – сталь с R_y = 2450 кг/см² и объемным весом = 0,00785 кг/см³, F = 10 т, = 1.

Ответ: = 1429 кг/см² < R_y = 2450 кг/см² (см. рис. в), следовательно, условие прочности выполняется.

Задача № 58

Построить эпюру нормальных сил для стержня замоноличенного в массив (рис. а), предполагая, что интенсивность сил трения постоянна по длине a. Собственным весом стержня пренебречь.

Ответ: эпюра нормальных сил показана на рис. б.

Задача № 59

Определить площади верхнего А_в0 и нижнего А_в1 сечений, а также вес кладки из глиняного кирпича в форме бруса равного сопротивления сжатию, если на верхнее сечение действует сосредоточенная сила F = 3000 кН, высота стойки l = 20 м, R = 1,5 МПа; = 1,00. Объемный вес кладки принять = 18 кН/м³.

Ответ: А_в0 = 2 м²; А_в1 = 2,54 м²; стойка из глиняного кирпича объемом м³ весит = 810 кН.

Задача № 60

Получить аналитические выражения для определения напряжений в поперечных сечениях бруса, имеющего форму, показанную. на рисунке. Толщину бруса принять постоянной и равной t = 2 см. Требуется: а) решить задачу, учитывая только собственный вес бруса с = 78,5 кН/м³, а сжимающую силу F принять равной нулю (F = 0); б) решить задачу без учета собственного веса, но принять F = 200 кН; в) решить задачу, принимая F = 200 кН и, учитывая собственный вес стального бруса с = 78,5 кН/м³.

Ответ: а) , [Па]; б) , [Па]; в) , [Па].

Задача № 61

Стальной стержень квадратного сечения со сторонами a_i, находится под воздействием сосредоточенных сил F_i, направленных вдоль оси стержня (рис. а).

Определить размеры поперечных сечений стержня так, чтобы в любом сечении стержня действовали нормальные напряжения, равные расчетному сопротивлению R_y = 240 МПа. Собственный вес стержня не учитывать.

Ответ: a₁ =0,91см; a₂ =1,02 см; a₃ =1,29 см; a₄ =1,12 см (рис. б).

Задача № 62

Определить допускаемую нагрузку F_adm растягиваемого стального листа, ослабленного отверстиями d = 2 см (см. рис.). Расчетное сопротивление стали принять R_y = 240 МПа, а = 1. Толщина листа t =1 см, ширина b = 15 см.

Ответ: F_adm = 216 кН.

Задача № 63

Определить допускаемую нагрузку F_adm растягиваемого стального листа, ослабленного отверстиями d = 2 см (см. рис.). Расчетное сопротивление стали принять R_y = 240 МПа, а = 1. Толщина листа t = 1 см, ширина b = 13 см.

Ответ: F_adm = 216 кН.

Задача № 64

Определить допускаемую толщину t растягиваемого стального листа, изображенного на рисунке, если диаметры отверстий d = 2 см, а ширина листа b = 20 см. Расчетное сопротивление стали принять: R_y = 240 МПа, а = 1. Внешняя растягивающая сила F = 20 т.

Ответ: см.

Задача № 65

В стенке стального двутавра № 20 вырезано отверстие диаметром d = 10 см (см. рис.). Определить допускаемую на-грузку F_adm, которая может быть приложена вдоль продольной оси ослабленного двутавра. Расчетное сопротивление стали принять R_y = 2450 кг/см², а γ_c = 1,1.

Ответ: F_adm = 571 кН.

Задача № 66

В стенке стального двутавра № 20 вырезано отверстие диаметром d = 10 см. Определить допускаемую равномерно распределенную нагрузку (кг/м), которую можно приложить вдоль стенки двутавра (см. рис.). Расчетное сопротивление стали R_y = 2450 кг/см², а = 1.

Ответ: = 84933 кг/м = 833,19 Н/м.

Задача № 67

Определить перемещение нижнего конца стержня, изображенного на рисунке. Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, для которого a₁ = 25 см, a₂ = 15 см, a₃ = 10 см, a₄ = 20 см, А₁ = А = 20 см², А₂ =А₃ =4А, А₄ = 2А. Стержень находится под действием сосредоточенных сил F₁ = 327,2 Н; F₂ = 1 кН; F₃ = 500 Н и собственного веса с = 78,5 кН/м³, действующих вдоль оси стержня. Принять .

Ответ:

Задача № 68

Определить перемещение нижнего конца стержня, представленного на рисунке. Принять а = 0,4 м; объемный вес материала стержня

Ответ:

Задача № 69

Определить линейную продольную деформацию каждого участка стержня кусочно-постоянного квадратного сечения, изображенного на рисунке. Вычислить перемещение точки С рассматриваемого стержня и построить эпюру перемещений поперечных сечений стержня. Принять a₁ = 0,9 см; a₂ = 1 см; a₃ = 1,3 см; a₄ = 1,1 см. Задачу решить без учета собственного веса стержня, .

Ответ: мм;

Задача № 70

Стержень постоянного поперечного сечения нагружен сосредоточенными силами (см. рис. а). Построить эпюру перемещений. Собственный вес стержня в расчете не учитывать.

Ответ: эпюра перемещений показана на рис. б.

Задача № 71

Прямой стальной стержень с площадью поперечного сечения А = 5 см² закреплен верхним концом, а к нижнему концу приложена растягивающая сила F =30 кН. Определить относительную и продольную линейную деформации, относительную поперечную деформацию , если длина стержня l = 3 м, модуль Юнга , коэффициент Пуассона = 0,3; удельный вес материала стержня = 78,5 кН/м³.

Ответ: 0,9 мм;

Задача № 72

Определить относительную деформацию в каждом участке стержня постоянного поперечного сечения, показанного на рисунке. Собственным весом стержня при расчете пренебречь.

Ответ:

Задача № 73

Стальной вертикальный стержень из двутавра № 30 растягивается под действием собственного веса. Длина стержня l = 20 м. Определить нормальное напряжение в закрепленном верхнем конце и перемещение нижнего конца стержня,

Ответ: = 0,00785 см.

Задача № 74

Вертикальный стержень из двух швеллеров № 20, закрепленный верхним концом, растягивается под действием собственного веса и силы F = 40 т. Определить максимальное нормальное напряжение и перемещение нижнего конца стержня при модуле продольной упругости Длина стержня l =4 м. Сила приложена к нижнему концу стержня.

Ответ: =0,171 см.

Задача № 75

Стальной болт длиной l = 16 см при затяжке получил удлинение = 0,12 мм. Определить напряжение в болте, если модуль Юнга .

Ответ:

Задача № 76

Алюминиевый стержень круглого поперечного сечения диаметром 10 см растягивается силой F. Найти величину допускаемой силы F_adm, если допускаемое уменьшение начального диаметра =0,002см; коэффициент Пуассона = 0,35.

Ответ: F_adm = 283 кН.

Задача № 77

Абсолютно жесткий брус АС прикреплен в точке А к неподвижному шарниру, а в точке В поддерживается стальным стержнем ВD. К концу бруса в точке С приложена сила F = 20 кН.

Подобрать сечение стержня ВD из равнобокого уголка и определить вертикальное перемещение точки С (см. рис.). Расчетное сопротивление материала стального стержня ВD , модуль продольной упругости

У к а з а н и е. Ввиду малости перемещений следует предположить, что точки В и С перемещаются по вертикали, т.е. согласно рис. 1.3.2, можно принять, что . По этой же причине принять, что .

Ответ: N_BD = 50 кН, поэтому необходимо взять стержень ВD из равнополочного уголка 35354 (A_n = 2,17 см²),

Задача № 78

Определить усилия в стержнях АВ и DС системы, изображенной на рисунке.

Ответ:

Задача № 79

Подобрать сечения элементов системы, изображенной на рис. 1.3.4 и определить перемещение узла В. Материал стержней – сталь с , , . Внешняя нагрузка представлена силой F = 50 т. Для подбора сечений использовать таблицу сортамента «Швеллеры стальные горячекатаные».

Ответ: N_BC = 25,9 т, поэтому необходимо брать швеллер № 10 с площадью поперечного сечения А₂ = 10,9 см²; N_BD = 36,61 т, поэтому необходимо брать швеллер № 14 с А₁ = 15,6 см²; см; см, по диаграмме перемещений графически в принятом масштабе определяем перемещение точки В, равное длине отрезка :

Задача № 80

Определить усилия в стержнях BС и СD (см. рис.), подобрать сечение растянутого стержня ВС при условии, что а коэффициент условий работы γ_с = 1.

Ответ: N_BC = 50 кН; N_CD = –50 кН; А_ВС = 2,08 см².

Задача № 81

Определить площади поперечных сечений стальных элементов АВ и СВ кронштейна, показанного на рисунке, если F = 5 т, , .

Ответ: А_АВ = 2,89 см²; А_СВ = 3,94 см² (без учета потери устойчивости).

Задача № 82

Два абсолютно жестких бруса СD и СВ соединены шарниром в точке С и опираются на опоры в точках D и В (см. рис.). Нижние концы брусьев соединены стальной затяжкой длиной l = 2 м. Подобрать сечение стальной затяжки (А_ВD), если F = 200 кН, R_y = 240 МПа, γ_с = 1. Определить удлинение затяжки ВD, если Е = 2,06·10⁵ МПа.

Ответ: А_ВD = 2,4 см²; = 0,23 см.

Задача № 83

Определить допускаемое значение силы F, действующей на стальной кронштейн (см. рис.), если принято расчетное сопротивление стали , , площади поперечных сечений стержней АВ и СВ известны и равны А_АВ = 1 см², А_СВ = 2 см².

Ответ: F_adm = 1,73 т = 16,97 кН; второй результат F_adm,2 = 2,53 т = =24,82 кН во внимание не принимаем.

Задача № 84

Определить допускаемое значение силы F, действующей на конструкцию, изображенную на рисунке, если расчетное сопротивление материала тяги АВ а . Площадь поперечного сечения тяги АВ А_АВ = 1 см². Стержень ВС – абсолютно жесткий.

Ответ: F_adm = 13,86 кН.

Задача № 85

Определить допускаемое значение силы F, действующей на стержневую систему, показанную на рисунке, если площади поперечных сечений стержней системы – А₁ = А₂ = 2 см². Принять расчетное сопротивление стали стержней , а .

Ответ: F_adm = 65,73 кН.

Задача № 86

Определить допускаемое значение силы F_adm, действующей на стальную стержневую систему (см. рис.), если горизонтальный стержень СО – абсолютно жесткий, а допускаемая величина вертикального опускания точки С – = 1,5 см. Площади поперечных сечений стержней указаны на рисунке, а А = 1 см², l = 1 м, .

Ответ: Н.

Задача № 87

Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, защемленный обеими концами и нагруженный силами F₁ =1 кН, F₂ =0,5 кН (см. рис.), а также собственным весом с =78,5 кН/м³. Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений. Определить перемещение сечения, находящегося на расстоянии 30 см от верхней опоры, если модуль упругости материала стержня .

Ответ: R_A = 327,2 Н; .

Задача № 88

Стержень с постоянной площадью поперечного сечения А нагружен сосредоточенными силами (см. рис.). Определить перемещения сечений I – I и II – II. Собственный вес стержня в расчете не учитывать.

Ответ:

Задача № 89

Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, для которого a₁ = 25 см, a₂ = 15 см, a₃ = 10 см, a₄ = 20 см, А₁ = А = 20 см², А₂ =А₃ =4А. А₄ = 2А (рис. а). Стержень находится под действием сосредоточенных сил F₁ = 327,2 Н; F₂ = 1 кН; F₃ = 500 Н и собственного веса с = 78,5 кН/м³, действующих вдоль оси стержня.

Требуется построить для заданного стержня эпюры нормальных сил и нормальных напряжений.

Ответ: правильный результат показан на рис. б, в.

Задача № 90

Дан прямой стальной стержень кусочно-постоянного сечения, для которого а = 0,4 м, а площади поперечных сечений указаны на рис. а. При учете действия только собственного веса стального стержня эпюры нормальных сил и напряжений имеют вид, показанный на рис. б, в.

Как изменятся эпюры нормальных сил и напряжений, если рассмотреть тот же стержень, но с защемленными обоими концами. Проверить правильность вычислений, используя критерий равенства площадей эпюры с разными знаками. Найти поперечное сечение, где N = 0, = 0.

Ответ: опорная реакция нижней опоры R = –9,83 кг, следовательно, соответствующие значения эпюры N, показанной на рис. б, необходимо сложить с величиной R = –9,83 кг.

Задача № 91

Определить нормальные напряжения в каждом участке стального стержня квадратного поперечного сечения, находящегося под воздействием сосредоточенных сил, направленных вдоль оси стержня. Размеры сторон квадратного поперечного сечения и величины сосредоточенных сил показаны на рисунке. Собственный вес стержня не учитывать, а модуль продольной упругости принять .

Ответ: = 22,07 МПа; = 58,57 МПа; = –12,65 МПа; = –68,22 МПа.

Задача № 92

Определить нормальные напряжения в опорных сечениях стержня постоянного поперечного сечения площадью А, заделанного обоими концами и находящегося под действием собственного веса, направленного вдоль оси стержня, – удельный вес материала стержня. Длина стержня – l.

Ответ:

Задача № 93

Стержень постоянного поперечного сечения заделан одним концом. После установки стержня в проектное положение был произведен замер величины зазора между нижним сечением бруса и нижней опорой, который оказался равен = 0,5 мм, длина стержня l = 2 м, объемный вес материала бруса = 78,5 кН/м³, (см. рис.). После этого стержень был загружен сосредоточенной силой F = 200 кН. Определить опорные реакции R_B, R_C и построить эпюры нормальных сил и напряжений.

Ответ: R_B = –48,503 кН; R_C = 151,654 кН.

Задача № 94

Стержень постоянного поперечного сечения заделан одним концом. Между нижним концом стержня и нижней жесткой опорой имеется зазор, равный = 0,5 мм (см. рис.). После измерения зазора стержень был загружен своим собственным весом с = 78,5 кН/м³ и сосредоточенной силой F = 200 кН. Длина стержня l = 2 м, модуль продольной упругости . Определить опорные реакции R_B, R_C и построить эпюры нормальных сил и напряжений.

Ответ: R_B = –48,581 кН; R_C = 151,576 кН.

Задача № 95

Имеются две стальные трубы, одна из которых имеет наружный диаметр D₁ = 102 мм и толщину стенки t₁ = 3 мм, а другая – D₂ = 168 мм, t₂ = 4 мм (см. рис.). Используя справочные данные в сортаменте можно определить, что площади их поперечных сечений равны A₁ = 9,3 см²; A₂ = 20,6 см². Обе трубы имеют длину l = 20 см. Вставленные осесимметрично друг в друга трубы подвергаются сжатию силой F = 20 т. Определить нормальные силы и напряжения, передающиеся на каждую трубу.

Ответ: = 668,9 кг/см² = 65,62 МПа; N₂ = 13779,3 кг =135,2 кН; N₁ = 6220,7 кг = 61 кН.

Задача № 96

Имеются две трубы, одна из которых стальная с наружным диаметром D₁ = 102 мм и толщиной стенки t₁ = 3 мм (А₁ = 9,3 см²), а другая алюминиевая с наружным диаметром D₂ = 168 мм и t₂ = 4 мм (А₂ = 20,6 см²). Вставленные осесимметрично друг в друга трубы подвергаются сжатию силой F = 20 т (см. рис.). Определить нормальные силы и напряжения, передающиеся на каждую трубу. Вычислить укорочение труб (), если их длина l = 20 см, а модуль продольной упругости для алюминия , для стали – Е₁ = 2,1·10⁶ кг/см².

Ответ: N₁ = 11,925 т = 116,98 кН; = 1282 кг/см² = 125,76 МПа; N₂ = 8,075 т = 79,21 кН; = 392 кг/см² = 38,45 МПа; = 0,12 мм.

Задача № 97

Дана конструкция, состоящая из трех элементов: двух труб разного диаметра и одного сплошного стержня (см. рис.). Все три элемента выполнены из разных материалов с модулями продольной упругости Е₁, Е₂, Е₃. Площади поперечных сечений двух труб А₂ и А₃, а площадь поперечного сечения сплошного стержня А₁. Элементы осесимметрично вставлены один в другой и помещены между абсолютно жесткими плитами. Вся стержневая система сжимается силой F. Требуется определить нормальные напряжения в поперечных сечениях каждого из элементов конструкции.

Ответ:

Задача № 98

Дан стальной прямой стержень кусочно-постоянного сечения, защемленный двумя концами и нагруженный силой F = 10 т (рис. а). Один из участков стержня выполнен из двутавра № 16. Материал всей конструкции – сталь с . Построить эпюры нормальных сил и напряжений. Собственный вес элементов конструкции в расчете не учитывать.

Ответ: эпюры нормальных сил и нормальных напряжений представлены на рис. б.

Задача № 99

Дана плоская шарнирно-стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса ВD, опертого на шарнирную опору О (см. рис.). Брус ВD прикреплен к двум стержням ВВ₁ и СС₁ при помощи шарниров. Площади поперечных сечений стержней ВВ₁ и СС₁ принять равными. Определить нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ₁ (N₁)и СС₁ (N₂).

Ответ: N₁ = 0,6F; N₂ = 1,2F.

Задача № 100

Три стальных стержня с одинаковыми площадями поперечных сечений А прикреплены шарнирно к абсолютно жесткой балке ВС (см. рис.), на которую действует сосредоточенная сила F = 50 кН.

Определить необходимую площадь поперечных сечений А трех стержней, если расчетное сопротивление стали стержней R_y = 240 МПа, а коэффициент условий работы γ_с = 1.

Ответ: А = 0,83 см².

Задача № 101

На рисунке изображена стержневая система, состоящая из недеформируемого бруса АВ, шарнирно опертого в точке В и подвешенного на трех стержнях. Для решения задачи принять q = 10 кН/м, a = 2 м, А₁ = 5 см², А₂ = 20 см², А₃ = 10 см², = 60^о.

Определить нормальные силы, возникающие в стержнях.

У к а з а н и е. На рис. б показана расчетная схема рассматриваемой стержневой системы. Пунктирная линия ВЕ^/ показывает положение жесткого стержня ВЕ после приложения внешней нагрузки. В качестве уравнения равновесия принять .

Ответ: N₁ = 1,04qa = 20,8 кН; N₂ = –180 кН; N₃ = 156 кН.

Задача № 102

Абсолютно жесткий брус ВD, нагруженный силой F = 30 кН (см. рис.), шарнирно закреплен в точке В и подвешен на двух стальных стержнях с площадями поперечных сечений А₁ =5см², А₂ =10см².

Определить нормальные напряжения в стержнях.

Ответ: N₁ = 1,217 кН; N₂ = 14,6 кН.

Задача № 103

Определить нормальные напряжения в трех стальных стержнях, на которых подвешена абсолютно жесткая балка СD (см. рис.) с грузом F = 5000 кг.

Ответ: = 500 кг/см² = 49,1 МПа;= 750 кг/см² = 73,6 МПа; = 98,1 МПа.

Задача № 104

Два абсолютно жестких бруса В и С (см. рис.) соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние стержни – стальные с модулем Юнга , средний стержень – медный с модулем Юнга . Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы и равны А = 1см², расстояния между абсолютно жесткими брусьями l = 1 м.

Определить нормальные усилия в стержнях, если расстояния между брусьями увеличить на = 0,0001 м. Найти значение силы F, которая обеспечит увеличение расстояния между брусьями В и С на заданную величину .

Ответ: N_c = 2,06 кН – в стальных стержнях; N_м = 1,3 кН – в медном стержне; F = 5,42 кН.

Задача № 105

К двум абсолютно жестким брусьям В и С приложены сосредоточенные силы F = 54,2 кН (см. рис.). Брусья В и С соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние – стальные с , а средний – медный с . Площади поперечных сечений принять одинаковыми и равными А = 1 см², а l = 1 м. Вычислить удлинения стержней и , а также значения нормальных усилий, возникающих в стержнях.

Ответ: N_м = 13 кН, N_c = 20,6 кН; == 0,001 м.

Задача № 106

Абсолютно жесткая балка ОС опирается на шарнирно неподвижную опору О и поддерживается двумя гибкими связями ВD и СЕ (см. рис.).

Определить внутренние усилия в связях ВD и СЕ, если a = 3 м, b= 2,6 м; с = 1,6 м. Связи изготовлены из одного материала.

Ответ: N_BD = 0,1388Q; N_CE = 0,299Q.

Задача № 107

Стержень постоянного поперечного сечения А и длиной l заделан двумя концами. В процессе эксплуатации он нагрелся на величину . Определить возникшие внутренние усилия и напряжения.

Ответ: ;

Задача № 108

Два абсолютно жестких бруса В и С соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние – стальные с модулем упругости и температурным коэффициентом линейного расширения , а средний стержень – медный с модулем упругости и с (см. рис.). Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы.

Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней, возникающие при повышении температуры всех трех стержней на 45^о. Принять F = 0.

Ответ: = 11,12 МПа; = –22,24 МПа.

Задача № 109

Медный стержень с постоянной площадью поперечного сечения А = 10 см² загружен сосредоточенными силами F = 1000 кг (см. рис.) и нагрет на = 20^о. Определить опорные реакции нижней опоры R₁ и верхней опоры R₂. Собственный вес стержня не учитывать. Принять модуль Юнга , а коэффициент линейного расширения .

Ответ: R₁ = –4258,4 кг = –417,7 МПа; R₂ = –3258,4 кг = –319,6 МПа.

Задача № 110

Дан прямой стальной стержень (см. рис.), находящийся под действием собственного веса с = 78,5 кН/м³ и сосредоточенной силы F = 1000 Н. Эпюра внутренних нормальных усилий показана на рис. г, из которой видно, что опорная реакция R_B = –857,16 Н. На сколько градусов по Цельсию () необходимо нагреть или охладить весь стержень, чтобы нижняя опорная реакция R_B стала равной нулю (R_B = 0)? Принять коэффициент линейного расширения принять по справочной таблице.

Ответ: = –0,107^о.

Задача № 111

Определить внутренние усилия и напряжения в каждом участке бруса, изображенного на рисунке. Брус был подвергнут нагреванию на . Коэффициент линейного расширения обозначить через а модуль Юнга через Е.

Ответ:

Задача № 112

Стальной стержень постоянного поперечного сечения заделан одним концом (см. рис.). После установки стержня в проектное положение был произведен замер величины зазора между нижним торцом бруса и нижней опорой, который оказался равен = 0,5 мм, длина стержня l = 2 м, удельный вес материала стержня = 78,5 кН/м³ .

На сколько градусов () необходимо охладить весь стержень, чтобы опорная реакция нижней опоры была равна нулю (R_B = 0) после загружения стержня сосредоточенной силой F = 200 кН.

Ответ: = –19,62^о.

e-mail: KarimovI@rambler.ru

Башкирский государственный аграрный университет

Кафедра теоретической и прикладной механики 450001, г.Уфа, ул.50 лет Октября, д.34, корпус №3, ком.279/3