Решение.
Определяем продольную силу и строим эпюру распределения N вдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:
.
Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке стержня:
на первом участке ;
на втором участке ;
на третьем участке .
Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка
,
в конце второго участка
.
Аналогично для третьего участка
, .
По полученным точкам строим эпюру N. На рис. б эпюра N построена для следующих исходных данных: м, м; F1 = 10 кН, F2 = 40 кН, q1 = 15 кН/м, q2 = 20 кН/м.
Зная продольную силу, находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. в). Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т.е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются так же и в местах изменения поперечного сечения.
Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. в, опасным является не только сечение в начале третьего участка , где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участка с максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рисунке, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:
для чугунной части
, откуда ,
и ;
для стальной части
, тогда .
Из трех значений
A1, найденных из условий
прочности в опасных сечениях выбираем
то, которое удовлетворяет всем
условиям. Значение А2 находим
по заданному соотношению:
.
Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках должен быть больше нормируемого.
Пример 12.
Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рисунке. Собственный вес бруса в расчете не учитывать.
Решение.
Для определения внутренних усилий разбиваем прямолинейный брус на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и точкам приложения сосредоточенных сил. Из рассмотрения рис. а определяем, что брус необходимо разбить на четыре участка.
Проводим сечение I – I. Отбросим верхнюю часть бруса, ее действие заменим нормальной силой N1 (рис. б). Запишем уравнение равновесия, проектируя силы на ось бруса:
откуда N1 = F.
Очевидно, что на всем первом участке () нормальная сила N1 постоянна по величине. Откладываем в масштабе значение нормальной силы N1 = F в пределах участка I – I (рис. е).
Проводим сечение II – II и, отбрасывая верхнюю часть бруса, заменяем ее действие нормальной силой N2 (рис. в). Проектируем все силы на ось бруса:
откуда N2 = –F.
Аналогично находим нормальные силы в сечении III – III (рис. г):
откуда N3 = –F
и в сечении IV – IV (рис. д):
откуда N4 = 0.
Откладывая в масштабе значения нормальных сил N2, N3, N4 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил (рис. е). Полученную таким путем эпюру принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину нормальной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. Знак «плюс» показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а знак «минус» – сжатие.
Для построения эпюры нормальных напряжений воспользуемся формулой для каждого участка:
Эпюра нормальных напряжений (рис. ж) показывает, что наибольшего значения нормальные напряжения достигают в пределах третьего участка (участок III).
Определение напряжений и перемещений в брусе при растяжении-сжатии с учетом собственного веса
Пример 13.
Определить диаметр d, а также удлинение участка CD для круглого стержня, нагруженного силой F, принимая во внимание собственный вес. Удельный вес , допускаемое напряжение [] и модуль упругости Е материала стержня заданы.
Решение.
Для призматического стержня при действии собственного веса и сосредоточенной силы F на свободном конце имеем:
- продольная сила в произвольном сечении
,
- нормальное напряжение в этом же сечении
.