Часть 2. Расчет по предельному пластическому состоянию. Требуется найти грузоподъемность (или подобрать сечения стержней) расчетом по предельному состоянию.

Часть 3. Определение дополнительных напряжений, связанных с изменением температуры на или неточностью изготовления одного из стержней. Допустим, что в рассматриваемой задаче стержень 1 охлаждается (), и найдем возникающие в стержнях конструкции температурные напряжения.

Решение.

Прежде всего убедимся, что рассматриваемая конструкция является статически неопределимой. Сосчитаем число неизвестных: ими являются продольные силы в двух деформируемых стержнях и две опорные реакции в шарнирно неподвижной опоре в точке А. Таким образом, имеем 4 неизвестные, а число независимых уравнений статики для данной системы равно 3. Система является один раз статически неопределимой.

Часть 1. Для расчета конструкции по упругой стадии деформации необходимо составить три группы уравнений:

- уравнения равновесия;

- уравнения совместности деформаций;

- физические уравнения (закон Гука).

Чтобы составить уравнения равновесия, нарисуем план сил. Для этого рассечем стержни и, отбросив части стержней, заменим их внутренними усилиями – продольными силами N₁ и N₂ (рис. 2, а). Важно, чтобы на плане сил направления усилий соответствовали плану перемещений. Для того, чтобы выяснить как направлены продольные силы в стержнях, нарисуем приближенный план перемещений (рис. 2, б). Точки В и С жесткого диска поворачиваются с радиусами AB и АС вокруг неподвижной точки А на один и тот же угол и перемещаются по дугам, которые заменяем перпендикулярами и Для того, чтобы найти абсолютные деформации стержней, надо из точек и (новые положения узлов В и С) опустить перпендикуляры на направления стержней. Как видно из рис. 2, б стержень 1 укорачивается на (выделенный жирным отрезок), и поэтому на плане сил усилие N₁ показано сжимающим. Стержень 2 согласно плану перемещений удлиняется на , и на рис. 2, а продольная сила N₂ нарисована растягивающей.

Рис.2

Теперь составим три уравнения равновесия:

; ;

; ;

; .

Запишем вторую группу уравнений – уравнения совместности деформаций. Поскольку данная система является один раз статически неопределимой, необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Это геометрическое уравнение, связывающее абсолютные деформации стержней, и его мы получим на основании плана перемещений. Из подобия треугольников ABB¢ и ACC¢ на рис. 2, б. Связывая отрезки BB¢ и CC¢ с деформациями стержней и и учитывая, что AB = a, а , получим окончательно уравнение совместности деформаций

.

Теперь надо связать деформации стержней с внутренними усилиями. Предполагая, что материал подчиняется закону Гука (расчет по упругой стадии деформаций), запишем третью группу уравнений

и .

Мы получили полную систему уравнений для определения всех неизвестных (). Как правило, нас интересуют только продольные силы в стержнях, поэтому из уравнений равновесия при решении системы используется только последнее уравнение, в которое не входят опорные реакции. Решая полученную систему уравнений, найдем внутренние усилия в стержнях:

;

.

Здесь введено обозначение – погонная жесткость i-го стержня.

Заметим, что, как видно из полученных формул, усилия зависят не только от величины нагрузки и геометрических размеров конструкции, как в статически определимых системах, но и от отношения погонных жесткостей стержней. Эта важная закономерность справедлива для любой статически неопределимой конструкции и позволяет влиять на распределение усилий в стержнях без изменения ее геометрической схемы.

Определив внутренние усилия в стержнях, находим напряжения и выбираем наиболее напряженный стержень. Из условия прочности этого (наиболее напряженного) стержня либо определяем допускаемую нагрузку, либо подбираем размеры поперечных сечений стержней (заданное отношение площадей сечения необходимо сохранить). Например, если в заданной схеме задаться следующими данными: м, м, , , м, м, то и , а .

Напряжения в стержнях , . Из сравнения видно, что наиболее напряженным является стержень 2. Из условия прочности этого стержня

находим либо значение F, либо А₁ (А₂ по заданному отношению равно А₁/2).

Для проверки рекомендуем после определения допускаемой нагрузки (либо размеров площадей сечения) еще раз найти напряжения в стержнях и убедиться в том, что условие прочности выполняется в обоих стержнях.

Часть 2. Сделаем расчет конструкции по предельному пластическому состоянию. Поскольку заданная система является один раз статически неопределимой, то в предельном состоянии должны потечь два стержня, то есть все деформируемые стержни конструкции. Для определения предельной нагрузки нарисуем план сил в предельном состоянии (рис. 3).

Рис.3

Направления усилий снова должны соответствовать плану перемещений. Составим одно уравнение равновесия в предельном состоянии (такое уравнение, в которое не входят неизвестные опорные реакции):

; .

Из этого уравнения можно найти значение предельной нагрузки. Для конкретных исходных данных, использованных в первой части задачи, получим:

.

Из условия прочности конструкции по предельному состоянию либо находим значение допускаемой нагрузки, либо подбираем размер А_1.

Сравним величины допускаемых нагрузок, найденных разными методами для рассмотренного примера. Допускаемая нагрузка, определенная расчетом по упругой стадии деформации

,

оказалась меньше допускаемой нагрузки, полученной расчетом по предельному пластическому состоянию , на 56%.

Часть 3. Найдем дополнительные напряжения в стержнях конструкции, связанные с охлаждением стержня 1 на градусов. Предполагая, что в процессе деформации материал стержней остается упругим, расчет ведем по той же схеме, что и в первой части задачи, т. е. составляем три группы уравнений:

- уравнения равновесия;

- уравнения совместности деформаций;

- физические уравнения.

Рис.4

Уравнения равновесия составляем по плану сил (рис. 4, а), уравнения совместности деформаций – по плану перемещений (рис.4, б). План сил и план перемещений, как и раньше, должны соответствовать друг другу. Поясним особенности построения плана перемещений от температурного воздействия. Если бы конструкция была статически определимой, т. е. стержень 2 отсутствовал, то стержень 1 при охлаждении уменьшил бы свою длину на величину , жесткий диск повернулся бы на угол и узел В переместился в положение В¢¢. Поскольку конструкция статически неопределима, то лишний стержень 2 препятствует такой деформации. В результате жесткий диск повернется только на угол , точка В перейдет в положение В¢. Стержень 1 окажется растянутым на величину (выделенный жирным отрезок на плане перемещений рис. 4, б) и в нем возникнет растягивающее усилие N₁. В свою очередь стержень 2 в процессе деформации также будет растянут на величину продольной силой N₂. В соответствии с планом перемещений на плане сил (см. рис. 4, а) оба стержня показаны растянутыми.

Теперь запишем систему уравнений для определения внутренних усилий в заданной конструкции:

уравнение равновесия

; ;

уравнение совместности деформации (очевидно, что связь между деформациями стержней будет такой же, как и в первой части задачи, поэтому уравнение совместности деформаций в третьей части задачи можно записать, используя ранее полученное уравнение, заменив в нем на ).

и физические уравнения

; ; .

Решая эту систему уравнений, найдем усилия в стержнях системы, а далее по формуле температурные напряжения. Заметим, что отрицательный знак используется только при построении плана перемещений (стержень укорачивается от действия температуры), при решении системы уравнений величину следует принять положительной.

Примечание. Определение монтажных напряжений, связанных с неточностью изготовления одного из стержней , производится так же, как температурных напряжений. Например, если в рассмотренном примере стержень 1 будет изготовлен короче, чем требуется, на величину , то при сборке конструкции стержень 1 надо будет растянуть и при этом стержень 2 тоже растянется. На плане перемещений отрезок заменим на и решение задачи будет справедливо, если в полученной системе уравнений всюду заменить на заданную величину (отрицательный знак при решении системы уравнений не учитывается.)

Пример 35.

Имеется шарнирно-стержневая система, состоящая из трех деформируемых стержней, загруженная силой (рис. 1).

Заданы: геометрические характеристики системы (, , ); площади поперечных сечений стержней , , ; материал конструкции - пластичный.

Рис.1

Требуется:

1) определить грузоподъемность системы тремя способами:

- расчетом по упругой стадии деформаций;

- расчетом по упругопластической стадии;

- расчетом по предельному пластическому состоянию;

2) определить остаточные напряжения в стержнях системы при полной разгрузке из положения предельного равновесия.

Решение.

I. Определение грузоподъемности системы расчетом по упругой стадии деформаций

Найдем степень статической неопределимости системы. В данной конструкции имеем три неизвестные продольные силы в стержнях. Число уравнений статики, которые можно составить для системы сил, сходящихся в одной точке, равно двум. Таким образом, число неизвестных больше числа уравнений равновесия на единицу, и система является один раз статически неопределимой. Можно определить степень статической неопределимости и по-другому. Шарнир (модель которого - точка) для неподвижного закрепления на плоскости требует наложения двух линейных связей. Такими необходимыми связями являются любые два стержня из имеющихся трех стержней системы. Следовательно, оставшийся третий стержень становится лишней кинематической связью (лишним стержнем), а система является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости требуется составить уравнения статики, одно (по числу лишних связей) кинематическое соотношение (условие совместности деформаций) и физические уравнения. Рекомендуем начинать решение задачи с записи условия совместности деформаций, построив предполагаемый план перемещений. Для составления уравнений равновесия строим план сил, направления усилий на котором должны быть согласованы с планом перемещений.

1. Уравнение совместности деформаций. Построим предполагаемый план перемещений (рис. 2).

Рис.2

Величины двух абсолютных деформаций задаем произвольно (например, считаем, что стержни 2 и 3 удлиняются, и откладываем произвольные отрезки и вдоль стержней). На пересечении траекторий поворота концов двух стержней (перпендикуляров к направлениям стержней) получаем новое положение шарнира – точку С¢ на рис. 2. Опустив из этой точки перпендикуляр на направление оси стержня 1, найдем величину его абсолютной деформации .

Разложим полное перемещение шарнира – отрезок – на составляющие и . Найдем абсолютные деформации стержней, выразив их через и , используя их геометрическую связь:

,

,

.

Исключив из этих выражений и , получим искомое соотношение между абсолютными деформациями

.

Допускается составлять уравнение совместности деформаций приближенно, измеряя отношения между абсолютными деформациями по построенному в масштабе плану перемещений. Для приближенного определения связи между абсолютными деформациями представим эту связь в виде

.

Неизвестные параметры данной зависимости и определим из двух планов перемещений. При построении первого плана перемещений предположим, что . Измерим деформации первого и третьего стержней. Тогда

.

Построив второй план перемещений в предположении, что , найдем отношение деформаций первого и второго стержней и получим

.

2. Уравнения равновесия. Составим их на основании плана сил. Нарисуем план сил, вырезав узел и заменив отброшенные части стержней внутренними усилиями, причем направления усилий покажем в соответствии с планом перемещений растягивающими (рис.3).

Рис.3

Запишем два независимых уравнения статики. Для данной системы таковыми являются:

; ;

; .

3. Физические соотношения. Поскольку расчет ведется по упругой стадии деформаций, то материал конструкции подчиняется закону Гука и для каждого стержня записываем физические уравнения:

; ; .

Полученную систему уравнений решаем относительно усилий , , . Например, при , это решение имеет вид

, , .

Найденное решение показывает, что усилие в первом стержне отрицательно, т.е. стержень не растянут, как мы предполагали, а сжат. Полученные положительные знаки и подтверждают предположение о том, что эти стержни растянуты.

Для проверки прочности конструкции определим напряжения в стержнях системы:

;

;

.

При расчете по упругой стадии деформации считаем, что предельное состояние конструкции наступит тогда, когда потечет один, наиболее напряженный, стержень. Поскольку пластичный материал имеет одинаковые пределы текучести при сжатии и растяжении, то знак напряжения не имеет значения и первым потечет стержень, в сечении которого возникают наибольшие по модулю напряжения. В данном случае это третий стержень. Из условия его текучести находим предельную нагрузку:

, ;

а из условия прочности - допускаемую нагрузку на конструкцию:

, .

Отметим, что при расчете по упругой стадии деформаций нагрузка и напряжения на всем участке деформирования связаны прямой пропорциональной зависимостью, а потому коэффициенты запаса по напряжениям и по нагрузке равны между собой.

II. Определение предельной грузоподъемности системы расчетом по упругопластической стадии

Проследим за дальнейшим развитием процесса нагружения – деформирования системы после того, как напряжения в третьем стержне достигли предела текучести. Примем, что материал конструкции работает в соответствии с идеализированной диаграммой упругопластического тела – диаграммой Прандтля (рис. 4).

Рис.4

При продолжении роста нагрузки напряжения в третьем стержне будут оставаться постоянными и равными . При работе конструкции в упругопластической стадии напряжения в остальных стержнях будут расти в соответствии с упругим законом, но при изменившихся параметрах линейной зависимости от нагрузки. Эти изменения связаны с перераспределением нагрузки только на упругие стержни, обеспечивающие неизменяемость системы в этой стадии ее работы.

Поскольку усилие в стержне 3 уже известно, задача становится статически определимой и усилия в стержнях 1 и 2 находим из уравнений равновесия узла (план сил на рис. 5):

; ;

; .

Рис.5

Решение этой системы уравнений при , :

, .

Зависимости напряжений от нагрузки на данной стадии работы системы:

, .

Предельное пластическое состояние конструкции достигается тогда, когда напряжения в одном из упругих стержней 1 и 2 достигнут предела текучести и конструкция превратится в механизм. Определим, какой из стержней потечет первым, приравняв напряжения в стержнях пределу текучести и найдя, при каком значении нагрузки стержни потекут:

, ;

, .

Видно, что нагрузка, при которой , меньше и первый стержень потечет раньше второго. Нагрузка, при которой будут течь два стержня (3 и 1), и есть предельная нагрузка для всей конструкции

.

Заметим, что в предельном состоянии напряжения в первом и третьем стержнях достигли предела текучести. При этом первый стержень потек вслед за третьим, хотя к концу упругой стадии напряжения в нем были меньше, чем во втором стержне. Зависимость между напряжениями и нагрузкой с начала деформирования в упругопластической стадии уже не является линейной, а потому одинаковым коэффициентам запаса по нагрузке и по напряжениям в наиболее напряженном упругом стержне будут соответствовать различные значения допускаемой нагрузки. Так, в нашем случае допускаемая нагрузка с коэффициентом запаса по напряжениям определяется из условия

; ; .

Если же исходить из коэффициента запаса по нагрузке, то

; ; .

Очевидно, что расчет по допускаемой нагрузке приводит к повышенному запасу прочности в отдельных стержнях системы, а расчет по допускаемым напряжениям не обеспечивает заданного коэффициента запаса по нагрузке. Поэтому значение допускаемой нагрузки принимаем из условия прочности по нагрузке: .

Следует отметить, что современными строительными нормами проектирования предусматривается раздельное применение коэффициентов надежности по нагрузке и по материалу. Условие прочности в этом случае приняло бы вид

,

где и - коэффициенты надежности (запаса) по нагрузке и по материалу соответственно.

III. Определение предельной грузоподъемности системы расчетом по предельному пластическому состоянию

Заданная система имеет три деформируемых стержня, один из которых является лишним, так как система один раз статически неопределима. В предельном состоянии, когда конструкция превращается в механизм, должны потечь два стержня (один лишний и один необходимый). В рассмотренных ранее способах решения этой задачи рассматривался порядок перехода материала стержней в пластическую стадию работы, было выяснено, какой стержень потечет первым, какой – вторым. При этом конструкция сначала работает в упругой стадии (материал всех стержней подчиняется закону Гука), затем переходит в упругопластическую стадию работы. Решение вопроса о предельной нагрузке на конструкцию, при которой последняя переходит в механизм, может быть получено и без рассмотрения упругой и упругопластической стадий работы конструкции. Для этого достаточно исследовать равновесие системы в момент перехода в предельное пластическое состояние, т. е. в так называемое предельное равновесие. Сложность состоит в том, что конкретный механизм перехода системы в предельное пластическое состояние заранее неизвестен. Поэтому приходится рассматривать все кинематически возможные варианты перехода к предельному равновесию и для каждого из них вычислять предельную нагрузку. Фактически будет иметь место тот вариант предельного состояния, которому соответствует минимальное значение предельной нагрузки.

В данной задаче возможны три варианта предельного равновесия конструкции: 1) текут стержни 1 и 3; 2) текут стержни 2 и 3 и, наконец, 3) текут стержни 2 и 1.

В качестве примера рассмотрим два варианта предельного пластического состояния в нашей задаче. Согласно первому варианту допустим, что напряжения в стержнях 1 и 3 равны , а стержень 2 работает упруго. Для определения направления усилий в стержнях 1 и 3 построим план перемещений, используя те же правила построения плана перемещений, которые описаны при решении задач № 3 и 5. Поскольку упругие деформации стержня 2 много меньше пластических деформаций стержней 1 и 3, то при построении плана перемещений стержень 2 можно считать абсолютно жестким. Под действием нагрузки жесткий стержень 2 повернется вокруг шарнира А, и этот поворот вызовет укорочение стержня 1 на и удлинение стержня 3 на (рис. 6, а). Соответствующий плану перемещений план сил для первого варианта перехода в предельное состояние показан на рис. 6, б.

Рис.6

Чтобы неизвестное усилие N₂ не входило в уравнение, в качестве условия предельного равновесия выберем уравнение "сумма моментов относительно шарнира равна нулю" (см. рис. 6, б):

; .

Из этого уравнения при , найдем .

Во втором варианте предельного пластического состояния напряжения в стержнях 2 и 3 равны , а первый стержень работает в упругой стадии. Планы сил и перемещений показаны на рис. 7.

Рис.7

Запишем уравнение предельного равновесия для узла С (такое уравнение равновесие, в которое не входит неизвестное усилие N₁):

; .

Отсюда .

Аналогично можно определить предельную нагрузку для третьего варианта, в котором пластически деформироваться будут стержни 1 и 2. Фактической предельной нагрузкой будет минимальное значение из трех полученных. В нашей задаче это (первый вариант предельного состояния), что совпадает со значением, найденным ранее расчетом по упругопластической стадии.

Надо отметить, что число кинематически возможных вариантов предельного состояния может уменьшиться, если ось какого-либо стержня совпадает с линией действия нагрузки (в этом случае поворота этого стержня не происходит и механизма не образуется).

Допускаемое значение нагрузки определяем как отношение предельного значения нагрузки к коэффициенту запаса прочности n.

IV. Определение остаточных напряжений

Процесс нагружения конструкции в упругой и упругопластической стадиях, рассмотренный в пп. I и II, можно отобразить на диаграмме в осях (рис.8). Характерные точки этой диаграммы получены по соответствующим зависимостям для трех стержней конструкции.

Рис.8. Зависимость между напряжениями

и нагрузкой в процессе увеличения и уменьшения

нагрузки для стержней:

Рассмотрим процесс полной разгрузки системы из положения предельного равновесия (на диаграмме это соответствует вертикальной прямой с абсциссой ). Процесс разгрузки можно трактовать как наложение на существующие напряжения напряжений от отрицательного приращения нагрузки. Закон изменения последних определяется упругим решением задачи до тех пор, пока величина напряжения в одном из стержней не достигнет , поэтому линии разгрузки каждого стержня будут направлены параллельно линиям упругого нагружения (левый участок диаграммы). Если одно из напряжений при разгрузке достигнет величины (как это имеет место в нашем случае), то законы изменения напряжений станут соответствовать упругопластической стадии, а их графики будут параллельны соответствующим линиям нагружения (правый участок диаграммы).

Зависимости можно записать, пользуясь уравнением прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку:

,

где - угловой коэффициент прямой линии нагружения, параллельной рассматриваемой линии разгрузки; и - начальные параметры (напряжение и нагрузка в начале участка). В нашем случае , для стержней 1 и 3, а для стержня 2 .

Запишем эти зависимости непосредственно после начала разгрузки:

,

,

.

Напряжение , как легко вычислить, достигнет значения при снижении нагрузки до . При этом напряжения в остальных стержнях будут , .

Пользуясь найденными значениями как начальными параметрами, запишем зависимости для напряжений на втором участке разгрузки, проходящей в упругопластической стадии:

,

,

.

При полной разгрузке () получаем следующие значения остаточных напряжений: , , . В заключение следует проверить равновесие узла при полученных значениях остаточных напряжений.

Монтажные напряжения в стержневых системах при растяжении-сжатии

Пример 36. Определить напряжения, возникающие в упругих элементах системы после сборки, если стержень 1 изготовлен короче проектной длины на = 0,5 мм. Дано: А₁ = А₂ = А, а = 1м, Е = 200 ГПа.

Р е ш е н и е.

Данная система является однажды статически неопределимой (четыре неизвестных при трех уравнениях статики). Поэтому в дополнение к уравнению статики

, N₂×3a - N₁×2a = 0, N₂ = (2/3)N₁ (1)

необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников ВВ₁В₂ и СС₁С₂ имеем ВВ₂/СС₂ = =ВВ₁/СС₁ или . Заменяя деформации через усилия в стержнях, получим дополнительное уравнение

или . (2)