Пример 23.

Конструкция, состоящая из стержней, соединенных шарнирами, загружена силой F (см. рис. 1). Сечения стержней – из прокатной стали и площади сечений можно найти по таблицам сортамента прокатной стали. Цель расчета:

1. определить значение допускаемой нагрузки;

2. найти перемещение узла С.

Рис.1

Решение.

Для определения усилий используем метод сечений. Для этого нарисуем план сил (рис.2): рассечем деформируемые стержни конструкции и отброшенные части стержней заменим продольными силами N₁ и N₂ .

Рис.2

Из уравнений равновесия отсеченной части конструкции найдем продольные силы в стержнях:

и .

Знак минус показывает, что направление усилия в стержне 2 противоположно показанному на плане сил, т.е. стержень 2 сжат.

Определим напряжения по и выберем наиболее напряженный стержень (допустим, что в рассматриваемой задаче это будет стержень 1).

Из условия прочности этого стержня получим значение допускаемой нагрузки:

, .

Найдем перемещение узла С, построив план перемещений (рис.3).

Рис.3

Предварительно найдем абсолютные деформации стержней и по формуле . В рассматриваемой задаче растянутый стержень 1 будет удлиняться, а сжатый стержень 2 – укорачиваться. Для построения плана перемещений нарисуем схему конструкции в масштабе и отложим отрезки и вдоль оси каждого стержня, выбрав масштаб для деформаций так, чтобы картинка плана перемещений была наглядной. В процессе деформации стержни поворачиваются относительно точек А и В по дугам. Из-за малости деформаций эти дуги заменяем касательными, т. е. перпендикулярами к направлениям стержней (отрезки и на плане перемещений). На пересечении дуг (перпендикуляров к направлениям стержней) находится новое положение узла C после деформации – точка на плане перемещений. Вертикальное и горизонтальное перемещение узла C допускается определять по масштабу, не делая сложных геометрических выкладок.

Примечание. Если конструкция имеет абсолютно жесткий стержень, то принцип построения плана перемещений тот же. Все точки абсолютно жесткого стержня могут перемещаться только по дугам (перпендикулярам к направлению стержня), поворачиваясь вокруг неподвижного шарнира. Например, если стержень АС на плане перемещений считать абсолютно жестким, то точка С переместится в положение и горизонтальное перемещение узла С будет равно нулю.

Построение эпюр нормальных сил и напряжений для брусьев в статически неопределимых задачах при растяжении-сжатии

Статически неопределимыми системами называются системы, для которых реакции связей и внутренние усилия не могут быть определены только из уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения перемещений, учитывающие характер деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Способы составления уравнений перемещений будут рассмотрены на примерах решения различных задач.

Пример 24.

Статически неопределимыми называются такие конструкции, в элементах которых при помощи только одних уравнений статики определить усилия невозможно. Например, на рис.1 показан ступенчатый стержень, жестко закрепленный в точках и . На стержень действуют силы и . Модуль продольной упругости материала стержня . Площади поперечных сечений участков: ; ; . Длина участка . Необходимо раскрыть статическую неопределимость, определить продольные усилия, возникающие в различных частях стержня, нормальные напряжения и перемещения различных точек стержня при заданной нагрузке.

Решение.

Заменим действие опор на стержень реакциями ( и ) и составим уравнение проекций сил на ось стержня (ось ):

; , (1)

Рис. 1

Остальные уравнения статики дадут нам такое же выражение (1). В одно уравнение входят два неизвестных усилия ( и ), следовательно, задача один раз статически неопределима.

Для расчета таких систем необходимо использовать уравнения, содержащие деформации элементов конструкций. Так как концы стержня жестко закреплены, то общая длина не изменяется:

.

Общая деформация стержня будет складываться из деформаций его элементов:

, (2)

где – продольное усилие на -том участке; – длина - того участка; – модуль продольной упругости материала; – площадь поперечного сечения - того участка.

Выразим продольные усилия в поперечных сечениях стержня через одну из неизвестных реакций .

Разделим стержень на участки по местам приложения сосредоточенных нагрузок и местам изменения поперечного сечения стержня. Для приведенной схемы получаем три участка (рис. 1).

Мысленно рассечем первый участок произвольно взятым поперечным сечением и отбросим нижнюю часть балки, заменяя ее действие на верхнюю часть продольной силой , которую первоначально направляем в сторону растяжения рассматриваемого элемента первого участка (рис. 2).

Рис. 2

Из условия равновесия:

; (3)

Рис. 3

Мысленно рассечем второй участок произвольно взятым поперечным сечением и отбросим нижнюю часть балки, заменяя ее действие на верхнюю часть продольной силой которую первоначально направляем в сторону растяжения рассматриваемого элемента первого участка (рис. 3).

Из условия равновесия:

;

(4)

Для третьего участка (рис. 3):

;

(5)

Рис. 4

Деформация участков согласно формуле (2):

(6)

(7)

(8)

Общая деформация должна равняться нулю:

Умножив обе части уравнения на получим:

,

или:

.

Из выражения (1):

(9)

Знак «-» указывает на обратное направление реакции_.

Определяем значения осевых усилий для каждого участка по найденным ранее выражениям (3) – (5):

;

;

.

По полученным значениям строим эпюру осевых усилий. Для этого проводим нулевую (базовую) линию параллельно оси стержня, перпендикулярно которой будем в масштабе откладывать значения осевых усилий (рис. 1). В одну сторону откладываем положительные значения, в другую - отрицательные. Эпюра заштриховывается перпендикулярно нулевой линии, а внутри эпюры ставится знак откладываемой величины. Рядом указываются значения откладываемых величин. Рядом с эпюрой в кавычках указывается название эпюры («») и через запятую - единицы измерения (кН).

Нормальные напряжения в поперечных сечениях:

(10)

;

;

.

По полученным значениям нормальных напряжений строим эпюру нормальных напряжений («») (рис. 1).

Определим деформацию каждого участка:

;

;

.

Эпюру перемещений строим по перемещениям точек, , , .

Сечение в точке возьмем как базовое, перемещение которого . Тогда перемещение точки будет равно удлинению первого участка:

Перемещение точки будет складываться из перемещения точки и удлинения второго участка:

Перемещение точки будет складываться из перемещения точки и удлинения второго участка:

Перемещение является своего рода проверкой правильности решения данной задачи, так как точка принадлежит неподвижной опоре.

По полученным значениям строим эпюру перемещений («») (рис. 1).

Так как внутри участков перемещения поперечных сечений имеют пропорциональную зависимость от координаты сечения , значения, отложенные в точках , , , , соединяются между собой прямыми линиями.

Пример 25.

Задан стальной стержень, заделанный обоими концами и нагруженный силой F = 1000 Н (рис. а). Удельный вес материала стержня = 78,5 кН/м³, модуль упругости – .

Требуется построить эпюры нормальных сил и напряжений, а также определить перемещение сечения I – I.

Решение.

Выбираем основную систему, которая должна представлять собой статически определимую неизменяемую систему. Основная система получается из заданной системы путем отбрасывания лишних связей и замены их действия неизвестными реакциями. Принятая основная система показана на рис. б.

Строим эпюру нормальных сил для основной системы, для чего определяем нормальные силы в соответствующих сечениях (рис. б):

Определяем перемещение нижнего конца стального стержня основной системы:

Таким образом, если в статически неопределимом брусе (рис. а) убрать одну нижнюю опору, то нижнее опорное сечение переместится вниз на величину , но этого в реальном брусе не может быть, следовательно, на опоре В должна действовать опорная реакция R_B, от которой будет возникать линейная деформация , равная по величине , но противоположная по знаку:

Уравнение перемещений будет иметь вид:

или откуда находим R_B = 857,16 Н.

Опорная реакция R_B вызывает в брусе сжатие, следовательно, эпюра нормальных сил от действия только опорной реакции R_B будет иметь вид прямоугольника (рис. в).

Для получения эпюры нормальных сил для статически неопределимого бруса (рис. а) следует сложить две эпюры: эпюру нормальных сил в основной системе (рис. б) и эпюру нормальных сил от действия опорной реакции R_B (рис. в). Сложение эпюр проводим, складывая значения нормальных сил двух эпюр в соответствующих точках (рис. г). После чего строится эпюра нормальных напряжений по формуле

Эпюра нормальных напряжений показывает, что самое большое сжимающее нормальное напряжение будет в нижнем опорном сечении (КПа), а самое большое растягивающее напряжение – в верхнем опорном сечении (= 154,2 КПа). По эпюре нормальных сил находим опорную реакцию в верхней заделке – R_С = 770,84 Н.

Критерием правильности вычислений является равенство нулю площади эпюры нормальных напряжений, т.е. или , где – площадь части эпюры нормальных напряжений со знаком «плюс» (рис. д):

– площадь части эпюры нормальных напряжений со знаком «минус»:

В нашем случае == 191,6, следовательно, расчет выполнен правильно.

Определим перемещение сечения I – I (рис. а), для чего применим метод сечений. Проведем сечение I – I на эпюре нормальных сил (рис. г) и отбросим нижнюю часть эпюры, тогда по оставшейся части эпюры определяем

Перемещение можно вычислить, если отбросить верхнюю часть эпюры нормальных сил:

Получили одно и то же значение перемещений, но с разными знаками, что естественно, так как сечение I – I переместилось вниз, следовательно, верхняя часть бруса увеличила линейные размеры вдоль оси, а нижняя, наоборот уменьшила.

Пример 26.

Определить нормальное напряжение в бетоне и арматуре железобетонной колонны, квадратное поперечное сечение которой показано на рисунке, причем h = 30 см, модуль продольной упругости стали , а бетона тяжелого класса В 30 –

Решение.

В поперечном сечении колонны установлены четыре стержня диаметром 20 мм, следовательно, по справочнику принимаем, что общая их расчетная площадь поперечного сечения А_а = 12,56 см². Площадь поперечного сечения, занимаемого бетоном, определяется как

Пусть в поперечном сечении колонны действует сжимающая сила N, тогда уравнение равновесия примет вид:

.

Для определения усилий в арматуре N_a и в бетоне N_b одного записанного выше уравнения равновесия недостаточно, так как задача один раз статически неопределима. Составим дополнительное уравнение возможных перемещений (уравнение совместности деформаций). Очевидно, что между арматурой и бетоном существует сцепление, так что абсолютное и относительное удлинения арматуры и бетона равны

или .

Учитывая, что , получаем равенство относительных удлинений:

или , или, что то же самое откуда находим

Подставляя полученное соотношение в уравнение равновесия при учете, что , , и полагая, что внешняя сосредоточенная сжимающая сила N = 600 , имеем

откуда находим

Напряжения имеют знак «минус», так как колонна работает на сжатие.

Пример 27.

Задан стальной стержень, защемленный одним концом и загруженный силой F = 1000 Н (рис. а). Удельный вес стали стержня модуль продольной упругости стали .

Требуется построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений, учитывая, что до приложения нагрузок имелся зазор между нижним торцом бруса и нижней опорой равный

Решение.

Если нижнюю опору не принимать во внимание и вычислить перемещение нижнего торца стержня при учете сосредоточенной силы F и собственного веса стержня, то будем иметь . Полученное значение показывает, что нижний торец бруса в этом случае должен был бы опуститься ниже уровня нижней опоры на величину (рис. а)

Но этого быть не может, так как имеется абсолютно жесткая нижняя опора. Следовательно, будет возникать опорная реакция R_B, которая будет препятствовать возникновению перемещения нижнего торца стержня, равного :

Приравняем два значения : 82870/Е = R_B680/Е, откуда найдем значение опорной реакции R_B = 121,87 Н.

Эпюра нормальных сил от действия только опорной реакции R_B будет иметь вид, показанный на рис. б. Для построения окончательной эпюры нормальных сил для статически неопределимого бруса, показанного на рис. а, следует сложить две эпюры: эпюру нормальных сил в основной системе (рис. б) и эпюру нормальных сил от действия опорной реакции R_B (рис. б). Проведя сложение двух эпюр, получим окончательную эпюру N, показанную на рис. в, а затем можно переходить к построению эпюры нормальных напряжений (рис. г).

Расчет статически неопределимых стержневых систем на растяжение-сжатие. Расчеты по допускаемым напряжениям

Пример 28.

Составить полную систему уравнений и определить усилия в стержнях.

Р е ш е н и е.

1. Схема (рис. 1):

А₁ = А₂ = А₃ = А.

Уравнения статики

, N₂×a+N₃×4a = F×3a, (1)

, N₁+ N₂+ N₃ = F. (2)

Рис.1

Уравнение совместности деформаций. Деформации стержней

, , .

Из подобия треугольников АВ₁В₂ и AD₁D₂ имеем

,

откуда, выражая удлинения через усилия по закону Гука

, , ,

получим 6N₂ - 3N₁ = 2N₃.

Решая совместно уравнения (1), (2) и (3), найдем

N₁ = (2/35)F, N₂ = (9/35)F, N₃ = (24/35)F.

2. Схема (рис. 2):

Е₂ = 2Е₁ = 2Е,

А₁ = 2А₂ = 2А.

Уравнение статики. Из условия равновесия узла В имеем

, 2N₁cos30° + 2N₂cos60° = F. (4)

Уравнение совместности деформаций (рис. 2, в)

, откуда, выражая деформации через усилия ,

Рис.2

, получим N₁ = 3N₂. (5)

Решая совместно уравнения (4) и (5), найдем

N₁ = 0,27F; N₂ = 0,09F.

3. Схема (рис. 3).

Уравнения статики (рис.3, б).

У з е л А

, . (6)

У з е л В

, . (7)

Рис.3

Уравнение совместности деформаций

, , .

Выразив удлинения через усилия по закону Гука, получим

. (8)

Решая совместно уравнения (6), (7) и (8), найдем усилия в стержнях.

Пример 29.