Невесомая жесткая балка подвешена на трех одинаковых стержнях и нагружена силой f. Во сколько раз уменьшится напряжение в среднем стержне, если площадь его сечения увеличить в 4 раза.

Р е ш е н и е.

1. Определение усилий. Данная система является 1 раз статически неопределимой. Поэтому в дополнение к уравнению статики необходимо составить одно уравнение совместности деформаций.

Уравнение статики: , 2N₁ + N₂ = F. (1)

Уравнение совместности деформаций или, заменяя деформации через усилия по закону Гука,

N₁l/(EA₁) = N₂l/(EA₂), откуда

N₂ = (A₂/A₁)N₁ = mN₁, (2)

где m = A₂/A₁ отношение площадей.

Решая совместно (1) и (2), найдем

N₁ = F/(2 + m), N₂ = F×m/(2 + m).

2. Исследование напряжений при изменении жесткости конструкции. Находим напряжения в стержнях

, .

Пусть в исходном состоянии А₁ = А₂ = А, т.е. m = 1. Тогда N₁ = N₂ = F/3 и .

После увеличения площади поперечного сечения среднего стержня в 4 раза (m = 4) будем иметь

N₁ = F/6, N₂ = 2F/3 и ,

т.е. напряжения в среднем стержне уменьшаются в 2 раза. Как видим, напряжения уменьшаются в меньшей пропорции, чем увеличивается площадь сечения. Это связано с тем, что одновременно с увеличением площади сечения стержня возрастает и усилие в нем. В статически определимых системах усилия не зависят от площади поперечных сечений стержней, поэтому увеличение площади сечений сопровождается пропорциональным уменьшением напряжений.

Пример 30.

Дана статически неопределимая плоская шарнирно - стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ВВ₁ и СС₁ при помощи шарниров.

Площади поперечных сечений показаны на рис. а.

Определить нормальные усилия в стержнях ВВ₁ и СС₁.

Решение.

На рис. б показана расчетная схема рассматриваемой шарнирной системы, где N₁, N₂ – нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ₁ и СС₁; V, H – вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-непод-вижной опоры О; F – внешняя сосредоточенная сила, приложенная к абсолютно жесткому брусу ВD. Таким образом, имеем четыре неизвестные реакции (N₁, N₂, V, H,) и три уравнения равновесия (,,). Следовательно, данная система является один раз статически неопределимой и для ее решения требуется составить одно дополнительное уравнение перемещений.

Запишем уравнение равновесия

(а)

которое содержит две неизвестные нормальные силы N₁ и N₂. Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы, предположив, что абсолютно жесткий брус ВD при деформации повернется вокруг опоры О (рис. б, пунктирная линия В^/ОD^/), оставаясь прямым.

Из подобия треугольников ВВ^/О и DD^/О находим:

или (б)

Из-за малости перемещений будем полагать, что точки В, С, D при деформации системы переместятся соответственно в точки В^/, С^/, D^/, т.е. перемещения точек абсолютно жесткого бруса будут происходить вертикально. Определим удлинения стержней ВВ₁ и СС₁:

(в)

но с другой стороны при рассмотрении рис. б можно получить

и или

а с учетом формул (в) имеем (г)

Приравняем соответствующие части формул (б) и (г):

(д)

Таким образом, получена система двух уравнений (а) и (д) с двумя неизвестными N₁ и N₂, решая которую находим

.

Пример 31.

Пространственный кронштейн, состоящий из трех стержней, нагружен силой F. Зная допускаемые напряжения материала стержней на растяжение [] = 120 МПа и на сжатие [] = 60 МПа, требуется:

1) проверить прочность конструкции, если F = 120 кН, А₁ = А₂ = 4 см², А₃ = 25 см²;

2) подобрать сечения стержней из двух равнобоких уголков, если F = 480 кН;

3) определить, какой груз может выдержать кронштейн, если А₁ = А₂ = 10 см², А₃ = 60 см².

Решение.

1. Определение усилий в стержнях. Из условия равновесия узла С имеем:

, , ;

, , ;

, , .

2. Определение искомых величин.

2.1. Проверка прочности конструкции

Находим напряжения в стержнях:

= 0,395×120×10³/(4×10^-4) = 118,5 МПа<[] = 120 МПа;

1,25×120×10³/(25×10^-4) = 60 МПа = [] = 60 МПа.

Как видим, оба условия прочности выполняются, т.е. прочность конструкции в целом обеспечена.

2.2. П о д б о р с е ч е н и й

Из условия прочности на растяжение

,

откуда .

Из условия прочности на сжатие

,

откуда .

Принимаем по ГОСТ 8509-72 (СТ СЭВ 104-74):

- для 1-го и 2-го стержней – 2 уголка 70х70х6 (А₀₁ = 2 × 8,15 =16,3 см²);

- для 3-го стержня – 2 уголка160х160х16 (А₀₃ = 2 × 49,1 =98,2 см²).

2.3. Определение допускаемой нагрузки

Из условия прочности на растяжение

,

откуда .

Из условия прочности на сжатие

,

откуда .

Допускаемая нагрузка равна меньшей из найденных величин, т.е.

F = min{[F_р], [F_сж]} = [F_сж] = 288 кН.

Расчет статически неопределимых стержневых систем на растяжение-сжатие. Расчеты по предельным нагрузкам

Метод расчета по предельным нагрузкам исходит из более широкого использования экспериментальных данных, анализа пластических свойств материалов и их учета.

В этом методе путем расчета определяются не напряжения, а находится предельная нагрузка F_пред, при которой конструкция становится непригодной для эксплуатации. За допускаемую нагрузку принимается доля от предельной [F_F] = F_пред/П и условие прочности в данном случае принимает вид

.

При определении предельной нагрузки действительную диаграмму растяжения материала заменяют идеализированной диаграммой Прандтля, в которой площадка текучести принимается неограниченной (см. рис.). Поэтому расчет по допускаемым нагрузкам применим лишь для конструкций, выполненных из пластичных материалов и только при действии статических нагрузок.

Теоретическое определение допускаемой нагрузки возможно только для некоторых простейших случаев. Один из подходов состоит в том, что рассматриваются различные кинематически возможные схемы исчерпания несущей способности системы (система становится геометрически изменяемой). Продольные усилия в элементах, появление текучести в которых приводит к исчерпанию несущей способности конструкции, принимаются равными произведениям допускаемых напряжений на площади поперечных сечений. Из уравнений предельного равновесия определяются допускаемые нагрузки, соответствующие каждому из вариантов исчерпания несущей способности. В качестве допускаемой нагрузки для конструкции принимается наименьшая из найденных величин.

Пример 32.

Определить величину допускаемой нагрузки для данной конструкции, если А₁=А₂=А₃=А, l₁=l₂=l₃=l. Все стержни изготовлены из одного и того же материала.

Р е ш е н и е.

Данная система является один раз статически неопределимой (три неизвестных при двух независимых уравнениях статики). Несущая способность ее будет исчерпана (система станет геометрически изменяемой), когда возникнут пластические деформации в двух стержнях. Таких вариантов три.

Первый вариант (рис. б). Несущая способность исчерпывается при появлении пластических деформаций в 1-м и 2-м стержнях. Принимаем N₁ = N₂ = []A и составляем уравнение моментов относительно точки С: ,

, откуда .

В т о р о й в а р и а н т (рис. в). Несущая способность исчерпывается при появлении пластических деформаций в 1-м и 3-м стержнях. Принимаем N₁ = N₃ = []A и составляем уравнение моментов относительно точки В: ,

, откуда .

Т р е т и й в а р и а н т (рис. г). Несущая способность исчерпывается при появлении пластических деформаций во 2-м и 3-м стержнях. Принимаем N₁ = N₂ = []A и составляем уравнение моментов относительно точки А: ,

, откуда .

Допускаемой нагрузкой для конструкции будет наименьшая из трех найденных величин:

.

Пример 33.

Подобрать сечения стержней, если А₁=А₂=А₃=А, F=870 кН, допускаемое напряжение []= 150 МПа.

Решение.

1.Определение допускаемой нагрузки. Несущая способность конструкции будет исчерпана, когда пластические деформации возникнут во всех трех стержнях. Полагая N₁ = N₂ = N₃ = []А и составляя уравнение моментов относительно точки О, найдем допускаемую нагрузку

, ,

откуда .

2. Подбор сечений. Записываем условие прочности

,

откуда находим искомую площадь

.

Пример 34.

Стержневая конструкция, состоящая из абсолютно жесткого диска и двух деформируемых стержней длиной l₁ и l₂, соединенных шарнирами, подвержена действию силы F (рис. 1).

Рис.1

Расчет этой конструкции состоит из трех частей:

Часть 1. Расчет по упругой стадии деформации. В зависимости от исходных данных, надо либо определить грузоподъемность конструкции, либо подобрать размеры поперечного сечения расчетом по допускаемым напряжениям.