Решая совместно уравнения (1) и (2), найдем усилия в стержнях , , а по ним и искомые напряжения
= 0,3×200×109×0,5×10-3/1 = 30 МПа;
= 0,2×200×109×0,5×10-3/1 = 20 МПа.
Температурные напряжения в стержневых системах при растяжении-сжатии
При нагревании на стержень, заделанный одним концом, увеличит свои поперечные и продольные размеры. Увеличение длины составит
,
где – температурный коэффициент линейного расширения. Значения коэффициентов линейного расширения для некоторых материалов приведены в справочных таблицах.
Если система представляет собой статически определимую систему, то изменение температуры не вызовет в ней никаких внутренних усилий.
При нагревании на стержня, заделанного двумя концами, возникнет нормальная сила, так как заделка препятствует удлинению стержня. Для определения нормальных усилий применяется обычный метод расчета статически неопределимых систем.
Пример 37.
Пусть дана система, представленная на рисунке. Предположим, что все стержни выполнены из одного материала и имеют одинаковую площадь поперечного сечения А. Примем, что внешняя нагрузка отсутствует, т.е. F = 0, но средний стержень нагрет на величину .
Решение.
Из симметрии конструкции следует, что нормальные силы в крайних стержнях одинаковы (NB = NC). Предположим, что все стержни растянуты. Рассечем мысленно все стержни и составим уравнение равновесия в виде суммы проекций сил на вертикальную ось:
(а)
Таким образом, имеем две неизвестные нормальные силы, но одно уравнение равновесия. Задача является один раз статически неопределимой. При составлении дополнительного уравнения примем во внимание, что абсолютные удлинения всех трех стержней одинаковы:
или
Абсолютные удлинения крайних стержней возникают от продольной нормальной силы, а абсолютное удлинение среднего стержня равно сумме его температурного удлинения и упругой деформации от продольной силы ND. Приравняв абсолютные удлинения
, находим .
Подставляя
полученное выражение в уравнение
равновесия (а), определяем:
и
Следовательно, в крайних стержнях будут
действовать растягивающие нормальные
силы, а в среднем – сжимающая нормальная
сила.
Если на стержневую
систему (см. рисунок) действует также и
внешняя сосредоточенная сила
то
определив нормальные силы в стержнях,
возникающие от этой силы, используем
принцип независимости действия сил и
просто складываем результаты двух
расчетов: от температурного воздействия
и от внешней сосредоточенной силы.
Например, от внешней
силы F в стержнях
возникнут внутренние нормальные усилия
.
При нагревании среднего стержня на
величину
в
стержнях возникают, согласно проведенного
выше расчета, нормальные усилия
и
При одновременном действии внешней силы F и нагреве среднего стержня на в стержнях будут следующие нормальные усилия:
Пример
38. Определить
напряжения, возникающие в упругих
элементах системы (см. рис.), если после
монтажа температура увеличилась на
°C.
Дано: А1/А2
= 2, Е
= 200 ГПа,
.
Р е ш е н и е.
Данная система является однажды статически неопределимой.
Уравнение статики , ,
или , откуда . (1)
Уравнение совместности деформаций
или .