Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”

направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”

Описание в пространстве состояний для усилительного звена содержит только уравнение выхода

y = kx. (22)

Передаточная функция идеального усилительного звена

W(s) = k. (23)

Рис. 7. Структурная схема идеального усилительного звена.

Имея модель системы в графическом виде, т.е. в виде структурной схемы, всегда можно построить эквивалентную схему с чисто интегрирующими звеньями (идеальными интеграторами), а по ним получить дифференциальные уравнения и уравнения в пространстве состояний.

7. Анализ САУ по передаточной функции

Одной из основных задач теории автоматического регулирования и управления является изучение динамических процессов, протекающих в системах регулирования. Система всегда подвергается действию внешних возмущающих сил, которые могут вывести систему из состояния равновесия. Если система устойчива, то она противостоит внешним силам, а выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему. Устойчивость системы автоматического регулирования является одним из основных условий ее работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов. Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и неработоспособной.

Впервые свойства устойчивости были исследованы русским ученым А.М.Ляпуновым в 1892 г. в работе "Общая задача об устойчивости движения". Общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции системы) в левой комплексной полуплоскости (рис. 8). Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Сформулированное выше условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем. Однако, в случае нулевых или

обновление от 16

Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”

направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”

чисто мнимых корней характеристического уравнения вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.

Рис. 8. Расположение корней характеристического уравнения системы пятого порядка: а) - устойчивой; б) - неустойчивой; в) и г) находящейся на границе устойчивости.

Поскольку вопрос о корнях f(s) любого порядка свободно решается с внедрением ЭВМ лишь в последние 10-15 лет, то ранее для исследования устойчивости использовались специально разработанные косвенные методы. На практике, для упрощения расчетов, устойчивость САР определялась с помощью критериев устойчивости. Критерии устойчивости позволяют выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Рассматриваются коэффициенты характеристического уравнения или некоторые их функции. Критерии устойчивости эквивалентны сформулированному выше условию устойчивости.

Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица, Льенара-Шипара и Рауса, к частотным — критерии Михайлова и Найквиста.

Из алгебраических критериев устойчивости чаще используются критерии Гурвица и Рауса, по ним можно выяснить влияние коэффициентов f(s) на устойчивость системы.

По критериям Гурвица и Рауса можно судить об устойчивости системы как в замкнутом так и в разомкнутом состоянии. Критерии устойчивости широко освещаются в литературе по теории автоматического управления и регулирования [1,2,3,4 и т.д.].В лабораторном практикуме используется критерий Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвица

Из коэффициентов характеристического уравнения составляют матрицу

. (24)

Критерий формулируется так: чтобы рассматриваемая система была устойчивой, необходимо и достаточно при a0B B > 0 иметь положительными все диагональные определители, получаемые из матрицы (24), т.е.

обновление от 16.02.2004

Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”

направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”

(25)

Если апB B > 0, то последнее неравенство в (25) удовлетворяется при .

Система находится на границе устойчивости, если и все предыдущие определители в (25) положительны.

Для устойчивости систем первого и второго порядков достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными. Для системы третьего порядка характеристическое уравнение системы имеет вид f(s) = a3B sB 3P P + a2B sB 2P P + a1B sB + a0B B = 0, и условие устойчивости по Гурвицу будет

, т.е. произведение коэффициентов средних членов должно быть больше произведения крайних членов.

Частотный анализ

Традиционной формой [1,2,3,4] представления линейных моделей, удобной для проведения анализа динамических свойств исследуемой системы, является частотная форма. Описание в частотной области определяется набором частотных функций и частотных характеристик, как их графического отображения.

К частотным функциям относятся:

-частотная передаточная функция или комплексный коэффициент усиления

-вещественная частотная функция P(w) = ReW(jw);

-мнимая частотная функция Q(w);

-амплитудная частотная функция А(w);

-фазовая частотная функция ф(w).

Частотная передаточная функция может быть представлена в двух формах: -алгебраическая форма представления

W(jw) = P(w) + jQ(w); (26)

-показательная форма представления частотной передаточной функции

W(jw) = A(w)eiP ф(w).P (27)

Формулы взаимных пересчетов этих двух форм очевидны и имеют вид:

; (28)

обновление от 16.02.2004

Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”

направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”

; (29)

Частотная форма удобна для проведения анализа динамических свойств исследуемой системы.

Во временной области важными являются переходная и импульсная переходная функции.

Переходная функция — реакция системы на ступенчатое входное воздействие (чаще всего — единичное входное воздействие). Импульсная функция -реакция системы на импульсное входное воздействие, под которым подразумевается мгновенный импульс бесконечно большой амплитуды и единичной площади (дельта-функция).

Графические представления частотных и временных функций принято называть характеристиками. В табл. 2 приведены наименования типовых частотных и временных характеристик САУ.

К типовым задачам частотного и временного анализа моделей САУ с одним входом и одним выходом относятся:

-расчет общей передаточной функции по передаточным функциям отдельных звеньев структурной схемы;

-расчет постоянных времени, коэффициентов затухания и статического коэффициента усиления модели;

-разложение полиномов числителя и знаменателя передаточной функции системы на элементарные сомножители;

-нахождение корней характеристического полинома;

-построение частотных характеристик: ЛАЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ, АФГ;

-построение временных переходных характеристик: h(t) и i(t).

обновление от 16.02.2004

Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”

направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”

Решение перечисленных задач на примере расчета САУ, представленной своей передаточной функцией, рассматривается в лабораторной работе № 4 "Частотный и временной анализ линейных моделей САУ".

Приложение 2 Варианты заданий к лабораторным работам №2, №3

обновление от 16.02.2004

Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”

направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”

Приложение 3 Варианты заданий к лабораторной работе №4

Таблица - Варианты заданий

1

2

обновление от 16.02.2004

Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”

направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”

3

4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

обновление от 16.02.2004