2.3.4. Семейство распределений Стьюдента

Эти законы описывают плотность распределения вероятности значений среднего арифметического, вычисленного по выборке из n – случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Это не один какой-то «закон распределения Стьюдента», а целое семейство законов, так как вид этого распределения зависит от числа n отсчетов, по которым рассчитывается среднее значение.

В центрированном и нормированном виде семейство распределений Стьюдента описывается выражением

(2.32)

где υ – так называемое число степеней свободы, зависящее от числа n усредняемых отсчетов: υ =n – 1.

Вид распределения Стьюдента для различных значений υ показан на рис. 2.7. При увеличении υ распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение.

Рис.2.7. Распределение Стьюдента при степенях свободы, равных 1(распределение Коши), 5 и 100.

Для нормированных распределений Стьюдента с числом степеней свободы υ > 4 справедливы соотношения

; ; (2.33)

Параметры распределений Стьюдента с числом степеней свободы υ ≥ 4 приведены в таблице.2.3.

Распределения Стьюдента имеют ряд особенностей.

Как видно из первого соотношения (2.33) и таблицы 2.3 при n ≤ 3 (υ ≤ 2) их СКО становится равным бесконечности, то есть дисперсионная оценка ширины разброса перестает работать (не существует). Она одинакова будет равна бесконечности у распределений, как

с большим, так и с меньшим (например, в 10 раз) разбросом. Оценка четвертого момента, а следовательно, и эксцесса перестает существовать еще раньше. Уже при n = 50 (υ = 4) согласно второй формуле (3.33) ε = ∞ и поэтому не имеет смысла.

Таблица 2.3

Значения точечных оценок распределения Стьюдента при различных степенях свободы

Число n усредняемых отсчетов	Число υ степеней свободы	Эксцесс, ε	Контрэксцесс, к
5	4	∞	0
6	5	9	0,333
7	6	6	0,408
8	7	5	0,447
11	10	4	0,500
∞	∞	3	0,577

Классический аппарат моментов для оценки ширины и формы распределений Стьюдента с малым числом степеней свободы оказывается неработоспособным и их ширина и форма могут быть оценены лишь с использованием доверительных оценок. Этим распределения Стьюдента резко отличаются от всех других рассмотренных ранее законов распределений.

По значимости эксцесса (от ε = 3 до ε = ∞ ) распределения Стьюдента с числом степеней свободы от υ = 4 до υ = ∞ совпадают с распределениями класса экспоненциальных с показателями степени от α = 0 до α = 2.

Разновидностью распределения Стьюдента является распределение Коши. Оно важно тем, что ему подчиняется распределение отношения двух нормально распределенных центрированных СВ. Распределение Коши – это предельное распределение семейства законов Стьюдента с минимально возможным числом степеней свободы υ = 1 (рис.2.7).

Свойства распределения Коши резко отличаются от свойств экспоненциальных распределений, а именно:

- дисперсия и СКО не существуют, так как определяющий их интеграл расходится. Они будут бесконечно увеличиваться при росте числа экспериментальных данных;

- оценка центра в виде среднего арифметического для распределения Коши неправомочна, так как ее рассеяние равно бесконечности;

- математическое ожидание не существует;

- для определения центра необходимо использовать медиану;

- эксцесс равен бесконечности, контрэксцесс равен нулю.